Як зміниться площа повної поверхні циліндра, якщо змінити відстань від осі циліндра до площини перерізу?

Для решения этой задачи, давайте вначале разберемся с тем, как можно выразить площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований и боковой поверхности. Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра, если известны его радиус \(r\) и высота \(h\), будет следующей:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi r h\]

Формула для площади одного основания цилиндра, если известен радиус \(r\), будет:

\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]

Так как у цилиндра есть два основания, то общая площадь поверхности, \(S_{\text{повн}}\), будет равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

\[S_{\text{повн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Теперь, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно узнать, как изменится площадь поверхности цилиндра при изменении расстояния \(d\) от оси цилиндра до плоскости перерезания.

Предположим, что изначально расстояние от оси цилиндра до плоскости перерезания составляет \(d_1\), а новое расстояние составит \(d_2\). Тогда площадь каждого из оснований останется неизменной, поскольку они не зависят от расстояния до оси.

Изменим только боковую поверхность. Обозначим новую площадь боковой поверхности как \(S_{\text{бок, нов}}\).

Так как в случае цилиндра боковая поверхность представляет собой прямоугольник, длина которого равна окружности основания, а ширина -- высота цилиндра, получаем:

\[S_{\text{бок, нов}} = 2\pi r h_2\]

где \(h_2\) -- новая высота цилиндра.

Теперь, подставляя найденные формулы в формулу для общей площади поверхности, получаем:

\[S_{\text{повн, нов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок, нов}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h_2\]

Таким образом, площадь повной поверхности цилиндра изменится при изменении расстояния от оси цилиндра до плоскости перерезания.

Ответ: Площадь повной поверхности цилиндра изменится и будет равна \(2\pi r^2 + 2\pi r h_2\), где \(h_2\) -- новая высота цилиндра, а все остальные параметры цилиндра остаются неизменными.