1. Перепишите одночлен в стандартном формате и определите его числовое значение а) При а = -2/3

Хорошо, давайте решим задачи по порядку.

1. а) Перепишем одночлен в стандартном формате:
\[2\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3\]

Сначала воспользуемся правилом возведения числа в отрицательную степень:
\[\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9}\]

Затем рассчитаем вторую степень отрицательной дроби:
\[\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = \frac{-8}{27}\]

Теперь можем подставить значения в исходный одночлен:
\[2\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{-8}{27}\]

Для удобства умножения можно сократить дроби:
\[\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{-8}{27}\]

Теперь перемножим числители и знаменатели по очереди:
\[\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot -8}{2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 27}\]

Сократим числитель и знаменатель:
\[\frac{-480}{810}\]

Делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 30:
\[\frac{-480}{810} = -\frac{16}{27}\]

Ответ: при \(a = -\frac{2}{3}\) значение одночлена равно \(-\frac{16}{27}\).

1. б) Теперь решим вторую задачу, используя те же шаги.

Перепишем одночлен в стандартном формате:
\[-3 \cdot \left(2 \frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{11}\right) \cdot \frac{32}{3} \cdot \left(2 \frac{2}{3}\right)^4\]

Возведем число во вторую степень:
\[\left(2 \frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}\]

Выразим смешанную дробь в виде неправильной:
\[2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\]

Возводим число в четвертую степень:
\[\left(2 \frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{8}{3}\right)^4 = \frac{4096}{81}\]

Теперь подставляем значения в исходный одночлен:
\[-3 \cdot \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{1}{11}\right) \cdot \frac{32}{3} \cdot \frac{4096}{81}\]

Производим умножение числителей и знаменателей:
\[\frac{-3 \cdot 64 \cdot -1 \cdot 32 \cdot 4096}{9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 81}\]

Выполняем умножение чисел:
\[\frac{62,976}{21,387,927}\]

Делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 1:
\[\frac{62,976}{21,387,927}\]

Ответ: при \(x = 2 \frac{2}{3}\) и \(y = -\frac{1}{11}\) значение одночлена равно \(\frac{62,976}{21,387,927}\).

2. а) Теперь представим одночлен в виде квадрата другого одночлена.

\((12a^2b^3c^4)^2\)

Правило для возведения многочлена в квадрат:
\((a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2\)

Применяем данное правило ко всем переменным внутри скобок:
\((12^2 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 2})\)

Сокращаем степени и упрощаем числа:
\((144 \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot c^8)\)

Ответ: заданный одночлен можно представить в виде \((144a^4b^6c^8)\).

2. б) Теперь решим другую задачу, используя аналогичные шаги.

\((\frac{5}{4}x^6y^8)^2\)

Возведем дробь в квадрат:
\((\frac{5^2}{4^2} \cdot x^{6 \cdot 2} \cdot y^{8 \cdot 2})\)

Упрощаем числа:
\((\frac{25}{16} \cdot x^{12} \cdot y^{16})\)

Ответ: заданный одночлен можно представить в виде \((\frac{25}{16}x^{12}y^{16})\).

3. а) Посчитаем выражение:
\((3^{3 \cdot 3}) \cdot (3^{5 \cdot 6}) \div (3^{6 \cdot 6})\)

Возведем числа в степень:
\(3^{9} \cdot 3^{30} \div 3^{36}\)

Суммируем степени с одинаковыми основаниями:
\(3^{9 + 30} \div 3^{36}\)

Выполняем сложение степеней:
\(3^{39} \div 3^{36}\)

Вычитаем степени:
\(3^{39 - 36} = 3^3 = 27\)

Ответ: \(27\)

3. б) Произведем вычисления для данного выражения:
\((-5^{4 \cdot 3}) \cdot (5^{2 \cdot 6}) \div ((-5^5)^5)\)

Возводим числа в степень:
\((-5^{12}) \cdot (5^{12}) \div ((-5^5)^5)\)

Сокращаем числа:
\((-5^{12} \cdot 5^{12}) \div ((-5^{5 \cdot 5})\)

Объединяем числа с одинаковыми основаниями:
\((-5^{12 + 12}) \div ((-5^{25})\)

Суммируем степени:
\((-5^{24}) \div (-5^{25})\)

Вычитаем степени:
\((-5^{24 - 25}) = -5^{-1} = -\frac{1}{5}\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\)