1. Перепишите график функции и найдите: а) домен функции; б) область значений функции; в) интервалы возрастания

1. Перепишем график функции и решим поставленные вопросы по порядку:

а) Домен функции: для этого функции необходимо определить все значения x, при которых функция определена. Смотря на график функции, можно заметить, что функция определена для всех значений x. Таким образом, домен функции - это множество всех реальных чисел, то есть (-∞, +∞).

б) Область значений функции: для этого функции необходимо определить все значения y, которые принимает функция. Смотря на график функции, видно, что она принимает все значения y, ниже графика и выше графика. Таким образом, область значений функции - это множество всех реальных чисел, то есть (-∞, +∞).

в) Интервалы возрастания функции: это интервалы, на которых функция строго возрастает. На графике можно заметить, что функция возрастает на интервалах от -∞ до корня функции и от второго корня функции до +∞. Интервалы возрастания функции: \((-\infty, a)\) и \((b, +\infty)\), где \(a\) и \(b\) - корни функции.

г) Интервалы убывания функции: это интервалы, на которых функция строго убывает. На графике можно заметить, что функция убывает на интервале от первого корня функции до второго корня функции. Интервал убывания функции: \((a, b)\), где \(a\) и \(b\) - корни функции.

д) Корни функции: это значения x, при которых функция равна нулю. На графике можно заметить две точки, где функция пересекает ось x. Значит, у нас есть два корня. Давайте найдем их. Решим уравнение \(x^2 - 10x = 0\):
\[x(x - 10) = 0\]
Таким образом, корни функции: \(x = 0\) и \(x = 10\).

е) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения: для этого нужно найти интервалы, на которых график функции находится выше оси x (т.е. все значения y положительны). Смотря на график функции, можно заметить, что функция принимает положительные значения на интервалах от 0 до первого корня функции и от второго корня функции до +∞. Интервалы, на которых функция принимает положительные значения: \((0, a)\) и \((b, +\infty)\), где \(a\) и \(b\) - корни функции.

ж) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения: для этого нужно найти интервалы, на которых график функции находится ниже оси x (т.е. все значения y отрицательны). Смотря на график функции, можно заметить, что функция принимает отрицательные значения на интервале от первого корня функции до второго корня функции. Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения: \((a, b)\), где \(a\) и \(b\) - корни функции.

з) Максимальное и минимальное значение функции: на графике можно заметить, что функция не достигает максимального или минимального значения, так как вершина графика находится над графиком функции. Следовательно, у данной функции нет максимального или минимального значения.

2. Найдем значения \(f(5)\), \(f(-2)\) и \(f(0)\), зная, что \(f(x) = x^2-10x\):

a) Значение \(f(5)\) найдем, подставив \(x = 5\) в выражение \(f(x)\): \(f(5) = (5)^2 - 10(5) = 25 - 50 = -25\).

b) Значение \(f(-2)\) найдем, подставив \(x = -2\) в выражение \(f(x)\): \(f(-2) = (-2)^2 - 10(-2) = 4 + 20 = 24\).

c) Значение \(f(0)\) найдем, подставив \(x = 0\) в выражение \(f(x)\): \(f(0) = (0)^2 - 10(0) = 0\).

Таким образом, \(f(5) = -25\), \(f(-2) = 24\) и \(f(0) = 0\).

3. Найдем корни функций:

a) Для уравнения \(y = -0.4x + 32\) нужно найти значения x, при которых y равно нулю. Подставим \(y = 0\):
\[0 = -0.4x + 32\]
\[0.4x = 32\]
\[x = \frac{32}{0.4}\]
\[x = 80\]

Таким образом, корень функции: \(x = 80\).

b) Для уравнения \(y = 9x(x - 5)\) нужно найти значения x, при которых y равно нулю. Подставим \(y = 0\):
\[0 = 9x(x - 5)\]
Отсюда следует, что \(x = 0\) или \(x - 5 = 0\). Таким образом, корни функции: \(x = 0\) и \(x = 5\).

c) Для уравнения \(y = \sqrt{x^2}\) нужно найти значения x, при которых y равно нулю. Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, то корни функции: \(x = 0\).