1. Сколько способов можно распределить 10 премий между 11 сотрудниками, если каждый сотрудник может получить только

Задача 1:
Для решения этой задачи нам потребуется применить так называемое "правило произведения".

Каждому сотруднику нужно выбрать по одной премии, а также каждая премия должна принадлежать только одному сотруднику. Всего имеется 11 сотрудников и 10 премий.

Для первой премии есть 11 вариантов выбора (так как у каждого сотрудника может быть только одна премия). Для второй премии уже остается 10 вариантов выбора (одна премия уже была получена), для третьей - 9 вариантов, и так далее.

Применяя правило произведения, мы умножаем все эти варианты выбора друг на друга:

\[11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 39,916,800\]

Таким образом, всего существует 39,916,800 способов распределить 10 премий между 11 сотрудниками в указанных условиях.

Задача 2:
Данная задача связана с комбинаторикой и вероятностью. Давайте разберемся.

Общее количество возможных комбинаций, которые может выбрать игрок, равно количеству способов извлечения 8 чисел из 35. Это можно выразить с помощью формулы сочетания:

\[\binom{35}{8} = \frac{35!}{8!(35-8)!}\]

Число сочетаний \(\binom{n}{k}\) означает количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) без учета порядка.

Теперь нам нужно найти количество комбинаций, в которых игрок угадывает ровно 5 чисел из 8. Для этого нужно умножить количество способов выбрать 5 чисел из 8 (используя формулу сочетания \(\binom{8}{5}\)) на количество способов выбрать 3 числа из 27 (так как остается 27 чисел, которые не были выбраны игроком):

\[\binom{8}{5} \cdot \binom{27}{3}\]

Наконец, чтобы найти вероятность, что игрок угадает ровно 5 чисел, нужно разделить количество комбинаций, в которых игрок угадывает 5 чисел, на общее количество комбинаций:

\[P = \frac{\binom{8}{5} \cdot \binom{27}{3}}{\binom{35}{8}}\]

Вычислив эту вероятность (подставив числовые значения биномиальных коэффициентов), мы получим искомый ответ.