1. Перепишите функцию f(x)=2x 3 -9x 2 - 60x+127 в другой форме, чтобы найти ее стационарные точки

Хорошо! Давайте начнем с первой задачи.

1. Чтобы найти стационарные точки функции \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 60x + 127\), мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Дифференцируем функцию \(f(x)\):
\[f"(x) = 6x^2 - 18x - 60\]

Теперь приравняем ее к нулю и решим уравнение:
\[6x^2 - 18x - 60 = 0\]

Факторизуем это уравнение:
\[6(x - 5)(x + 2) = 0\]

Решаем полученное уравнение:
\[x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0\]

\[x = 5 \quad \text{или} \quad x = -2\]

Таким образом, стационарные точки функции \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 60x + 127\) равны \(x = 5\) и \(x = -2\).

2. а) Для того чтобы нарисовать график функции \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\), мы можем найти вершины параболы и провести ось симметрии.

Функция \(f(x)\) является параболой, и вершина данной параболы может быть найдена с помощью формулы: \(x = -\frac{b}{2a}\).

В данном случае, коэффициенты \(a = 2\) и \(b = -5\). Подставим их в формулу для вычисления \(x_0\):
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}\]

Теперь, чтобы найти \(y_0\), подставим \(x_0\) в функцию \(f(x)\):
\[f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 1\]

\[f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} + 1 = \frac{1}{8}\]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{8}\right)\).

Чтобы построить график функции, можно выбрать несколько значений \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\). Например, выберем \(x = 0, 1, 2\) и подставим их в функцию \(f(x)\):

\[f(0) = 2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 1\]
\[f(1) = 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 1 = -2\]
\[f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = -3\]

Теперь мы можем построить график функции, используя эти точки и вершину параболы. Также обозначим ось симметрии (вертикальную прямую проходящую через вершину параболы):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-2, xmax=3,
ymin=-4, ymax=2,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-4,-3,-2,-1,0,1,2},
axis lines=middle,
legend pos=outer north east,
legend cell align={left},
grid=both,
grid style={line width=.3pt, draw=gray!50}
]
\addplot[domain=-2:3, blue, thick] {2*x^2 - 5*x + 1};
\addplot[mark=*] coordinates {(5/4,1/8)};
\addplot[mark=*] coordinates {(0,1)};
\addplot[mark=*] coordinates {(1,-2)};
\addplot[mark=*] coordinates {(2,-3)};
\addplot[black, dashed] coordinates {(5/4,-4) (5/4,4)};
\legend{$f(x)$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

б) Чтобы получить уравнение касательной линии к графику функции \(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\) в точке \(x_0 = 2\), мы можем использовать производную функции.

Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 4x - 5\]

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент \(k\) касательной линии в точке с \(x\)-координатой \(x_0\), подставим \(x_0 = 2\) в полученную производную:
\[k = f"(2) = 4 \cdot 2 - 5 = 3\]

Используя угловой коэффициент \(k = 3\) и координаты точки \((2, f(2))\) (где \(f(x)\) - это исходная функция), мы можем записать уравнение касательной линии в виде \(y = k(x - x_0) + y_0\).

Подставляем значения:
\[y = 3(x - 2) + f(2)\]

Найдем значение \(f(2)\):
\[f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = -3\]

Теперь можем записать окончательное уравнение касательной линии:
\[y = 3(x - 2) - 3\]

Проверим результат, построив график функции и касательной линии:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-1, xmax=4,
ymin=-5, ymax=2,
xtick={-1,0,1,2,3},
ytick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2},
axis lines=middle,
legend pos=outer north east,
legend cell align={left},
grid=both,
grid style={line width=.3pt, draw=gray!50}
]
\addplot[domain=-1:4, blue, thick] {2*x^2 - 5*x + 1};
\addplot[domain=-1:4, red, thick] {3*(x - 2) - 3};
\addplot[mark=*] coordinates {(2,-3)};
\addplot[black, dashed] coordinates {(2,-5) (2,2)};
\legend{$f(x)$, Касательная линия}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

3. Для заданной функции \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 60x + 127\) мы можем найти производные функции.

Первая производная называется производной первого порядка, и она представляет собой скорость изменения функции. Чтобы найти первую производную \(f"(x)\), нужно дифференцировать \(f(x)\) по \(x\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 - 60x + 127) = 6x^2 - 18x - 60\]

Вторая производная называется производной второго порядка. Чтобы найти вторую производную \(f""(x)\), нужно дифференцировать первую производную по \(x\):
\[f""(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x - 60) = 12x - 18\]

Таким образом, первая производная \(f"(x) = 6x^2 - 18x - 60\) и вторая производная \(f""(x) = 12x - 18\).

Чтобы найти значение производной в заданной точке, мы можем подставить значение \(x\) в соответствующую производную.

Допустим, мы хотим найти значение первой производной в точке \(x = 4\):
\[f"(4) = 6 \cdot 4^2 - 18 \cdot 4 - 60 = -18\]

Аналогично, если мы хотим найти значение второй производной в точке \(x = 4\):
\[f""(4) = 12 \cdot 4 - 18 = 30\]

Таким образом, значение первой производной в точке \(x = 4\) равно -18, а значение второй производной равно 30.

Использование производных функции позволяет нам изучать ее поведение и выявлять свойства, такие, как экстремумы и выпуклость.