1. Перепишите функцию f(x)=2x 3 -9x 2 - 60x+127 в другой форме, чтобы найти ее стационарные точки

Хорошо! Давайте начнем с первой задачи.

1. Чтобы найти стационарные точки функции $f(x)=2x^3-9x^2-60x+127$, мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Дифференцируем функцию $f(x)$:
$$f"(x)=6x^2-18x-60$$

Теперь приравняем ее к нулю и решим уравнение:
$$6x^2-18x-60=0$$

Факторизуем это уравнение:
$$6(x-5)(x+2)=0$$

Решаем полученное уравнение:
$$x-5=0\text{или}x+2=0$$

$$x=5\text{или}x=-2$$

Таким образом, стационарные точки функции $f(x)=2x^3-9x^2-60x+127$ равны $x=5$ и $x=-2$.

2. а) Для того чтобы нарисовать график функции $f(x)=2x^2-5x+1$, мы можем найти вершины параболы и провести ось симметрии.

Функция $f(x)$ является параболой, и вершина данной параболы может быть найдена с помощью формулы: $x=-\frac{b}{2a}$.

В данном случае, коэффициенты $a=2$ и $b=-5$. Подставим их в формулу для вычисления $x_0$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}$$

Теперь, чтобы найти $y_0$, подставим $x_0$ в функцию $f(x)$:
$$f\left(\frac{5}{4}\right)=2{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-5\left(\frac{5}{4}\right)+1$$

$$f\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{25}{8}-\frac{25}{4}+1=\frac{1}{8}$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(\frac{5}{4},\frac{1}{8})$.

Чтобы построить график функции, можно выбрать несколько значений $x$ и вычислить соответствующие значения $y$. Например, выберем $x=0,1,2$ и подставим их в функцию $f(x)$:

$$f(0)=2\cdot 0^2-5\cdot 0+1=1$$
$$f(1)=2\cdot 1^2-5\cdot 1+1=-2$$
$$f(2)=2\cdot 2^2-5\cdot 2+1=-3$$

Теперь мы можем построить график функции, используя эти точки и вершину параболы. Также обозначим ось симметрии (вертикальную прямую проходящую через вершину параболы):

$$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$$

б) Чтобы получить уравнение касательной линии к графику функции $f(x)=2x^2-5x+1$ в точке $x_0=2$, мы можем использовать производную функции.

Найдем производную функции $f(x)$:
$$f"(x)=4x-5$$

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной линии в точке с $x$-координатой $x_0$, подставим $x_0=2$ в полученную производную:
$$k=f"(2)=4\cdot 2-5=3$$

Используя угловой коэффициент $k=3$ и координаты точки $(2,f(2))$ (где $f(x)$ - это исходная функция), мы можем записать уравнение касательной линии в виде $y=k(x-x_0)+y_0$.

Подставляем значения:
$$y=3(x-2)+f(2)$$

Найдем значение $f(2)$:
$$f(2)=2\cdot 2^2-5\cdot 2+1=-3$$

Теперь можем записать окончательное уравнение касательной линии:
$$y=3(x-2)-3$$

Проверим результат, построив график функции и касательной линии:

$$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$$

3. Для заданной функции $f(x)=2x^3-9x^2-60x+127$ мы можем найти производные функции.

Первая производная называется производной первого порядка, и она представляет собой скорость изменения функции. Чтобы найти первую производную $f"(x)$, нужно дифференцировать $f(x)$ по $x$:
$$f"(x)=\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2-60x+127)=6x^2-18x-60$$

Вторая производная называется производной второго порядка. Чтобы найти вторую производную $f""(x)$, нужно дифференцировать первую производную по $x$:
$$f""(x)=\frac{d}{dx}(6x^2-18x-60)=12x-18$$

Таким образом, первая производная $f"(x)=6x^2-18x-60$ и вторая производная $f""(x)=12x-18$.

Чтобы найти значение производной в заданной точке, мы можем подставить значение $x$ в соответствующую производную.

Допустим, мы хотим найти значение первой производной в точке $x=4$:
$$f"(4)=6\cdot 4^2-18\cdot 4-60=-18$$

Аналогично, если мы хотим найти значение второй производной в точке $x=4$:
$$f""(4)=12\cdot 4-18=30$$

Таким образом, значение первой производной в точке $x=4$ равно -18, а значение второй производной равно 30.

Использование производных функции позволяет нам изучать ее поведение и выявлять свойства, такие, как экстремумы и выпуклость.