1) Перепишіть таким чином: sin(3π/2+α) sin(3π/2+α) _ (де α - це альфа) cos(3π/2-α) 1+sin(π/2-α) 2) Знайдіть розв язки

Конечно! Давайте начнем с первой задачи:

1) Перепишем исходное выражение, заменив α на альфа:
\(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \div \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) \cdot \left(1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)\)

Теперь проведем преобразования для упрощения выражения. Для удобства рассмотрим каждый множитель отдельно:

- \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) равно \(\cos\alpha\), поскольку синус периодичен с периодом \(2\pi\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\), а \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x\).

- \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) равно \(\cos^2\alpha\), так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) для любого \(x\).

- \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\) равно \(-\sin\alpha\), и здесь мы используем свойства синуса и косинуса.

- \(1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) равно \(1+\cos\alpha\).

Теперь, заменяем исходное выражение:

\(\cos\alpha \cdot \cos\alpha \div (-\sin\alpha)\cdot (1+\cos\alpha)\)

Далее, проводим необходимые алгебраические вычисления:

\(\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha}\cdot(1+\cos\alpha)\)

\(-\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\cdot(1+\cos\alpha)\)

Таким образом, получаем окончательный ответ: \(-\frac{\cos^2\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}\).

Теперь перейдем ко второй задаче:

2) Мы должны найти решения для следующих уравнений:
a) \(\cos4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
б) \(4\cos^2x-11\sin x-1=0\)
в) \(\sqrt{x-14}+\sqrt{x+7}=3(\sqrt{x+7}-14)\)

a) Для решения уравнения \(\cos4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы будем использовать свойство косинуса двойного угла:
\(\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1\).
Применим это свойство в нашем уравнении, заменив \(2\theta\) на \(4x\):
\(2\cos^2(2x)-1=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь проведем необходимые алгебраические вычисления:

\(\cos^2(2x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Заменяем \(2x\) обратно на \(x\):

\(\cos^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Значение \(\cos x\) может быть равно \(\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}\) или \(-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}\), потому что \(\cos x \geq -1\) и \(\cos x \leq 1\).

Таким образом, решением уравнения являются значения \(x\), при которых \(\cos x = \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}\) или \(\cos x = -\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}\).

b) Для решения уравнения \(4\cos^2x-11\sin x-1=0\), мы можем использовать идентичность \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Выражаем \(\sin^2x\) через \(\cos^2x\) в уравнении:

\(4(1-\sin^2x)-11\sin x-1=0\).

Далее, проводим необходимые алгебраические вычисления:

\(4\cos^2x-4-11\sin x-1=0\).

\(4\cos^2x-11\sin x-5=0\).

Теперь мы имеем квадратное уравнение, где \(\cos x\) - это неизвестная переменная. Чтобы решить его, можно использовать квадратное уравнение:

\(4t^2-11t-5=0\), где \(t=\cos x\).

Решаем это квадратное уравнение, находим значения \(t\), а затем находим значения \(\cos x\) из этих решений.

в) Для решения уравнения \(\sqrt{x-14}+\sqrt{x+7}=3(\sqrt{x+7}-14)\), мы будем проводить алгебраические вычисления для получения окончательного ответа.

Начнем с возведения обеих сторон уравнения в квадрат:

\((\sqrt{x-14}+\sqrt{x+7})^2=(3(\sqrt{x+7}-14))^2\).

Раскрываем скобки на обеих сторонах:

\((x-14)+2\sqrt{(x-14)(x+7)}+(x+7)=9(\sqrt{x+7}-14)^2\).

Сокращаем подобные слагаемые:

\(2x-7+2\sqrt{(x-14)(x+7)}=9(x+7)-252\).

Далее, проводим необходимые алгебраические вычисления и решаем полученное уравнение для \(x\).

Надеюсь, это поможет вам понять и решить данные задачи!