1) Переформулюйте, будь ласка, наступне речення: Як довести, що трикутник з вершинами А(7; 1; -3), В(0; 8; -3), С(0

1) Для доведення того, що трикутник з вершинами А(7; 1; -3), В(0; 8; -3), С(0; 1; 4) є рівностороннім, ми маємо порівняти довжини всіх трьох сторін цього трикутника. За формулою відстані між двома точками в просторі, ми можемо обчислити наступні відстані:

АВ = $\sqrt{(0-7{)}^2+(8-1{)}^2+(-3-(-3){)}^2}$
АВ = $\sqrt{49+49+0}$
АВ = $\sqrt{98}$

АС = $\sqrt{(0-7{)}^2+(1-1{)}^2+(4-(-3){)}^2}$
АС = $\sqrt{49+0+49}$
АС = $\sqrt{98}$

ВС = $\sqrt{(0-0{)}^2+(1-8{)}^2+(4-(-3){)}^2}$
ВС = $\sqrt{0+49+49}$
ВС = $\sqrt{98}$

Оскільки усі три сторони трикутника мають однакову довжину $\sqrt{98}$, ми можемо стверджувати, що цей трикутник є рівностороннім.

2) Щоб довести, що трикутник з вершинами А(-2; 6; -3), В(2; -2; 5), С(0; -4; 1) є прямокутним, ми можемо перевірити, чи є відповідні сторони перпендикулярними одна до одної.

Спочатку ми можемо обчислити вектори АВ і АС, використовуючи координати вершин:

Вектор АВ = В - А = (2 - (-2); -2 - 6; 5 - (-3)) = (4; -8; 8)
Вектор АС = С - А = (0 - (-2); -4 - 6; 1 - (-3)) = (2; -10; 4)

Тепер, ми можемо використати властивість перпендикулярних векторів - їх скалярний добуток дорівнює нулю. Застосуємо це для векторів АВ і АС:

Вектор АВ * Вектор АС = 4 * 2 + (-8) * (-10) + 8 * 4 = 8 + 80 + 32 = 120

Оскільки скалярний добуток векторів не дорівнює нулю, ми можемо стверджувати, що трикутник з вершинами А(-2; 6; -3), В(2; -2; 5), С(0; -4; 1) не є прямокутним.

Щодо гіпотенузи, в прямокутному трикутнику гіпотенуза є найбільшою стороною і вона зазвичай знаходиться проти прямого кута. В даному випадку, оскільки трикутник не є прямокутним, ми не можемо вказати його гіпотенузу.