1) Переформулируйте вопрос: Найдите длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С=90°), если

Спасибо за вопросы! Давайте начнем с каждого вопроса по очереди и найдем решения.

1) Найдите длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С=90°), если известно, что АС равно 3 см и cos A равно 1/4.

Для начала, нам известно, что сторона АС равна 3 см. Давайте обозначим стороны АВ и ВС как \(x\) и \(y\) соответственно.

Так как угол С равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора: в квадрате длины гипотенузы (стороны, напротив прямого угла) равняется сумме квадратов длин катетов (других двух сторон).

То есть, имеем уравнение:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Подставляем известные значения:
\[3^2 = x^2 + y^2\]

Также, нам известно, что cos A равно 1/4.
Мы можем использовать определение cos A, чтобы найти соответствующий катет:
\[cos A = \frac{AB}{AC}\]
Подставляем значения:
\[\frac{1}{4} = \frac{x}{3}\]
\[x = \frac{3}{4}\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(x\) в уравнение Пифагора:
\[3^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 + y^2\]

Решая это уравнение, мы находим \(y\):
\[3^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = y^2\]
\[9 - \frac{9}{16} = y^2\]
\[\frac{135}{16} = y^2\]
\[y = \sqrt{\frac{135}{16}}\]
\[y = \frac{3}{4}\sqrt{15}\]

Таким образом, длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС равны \(AB = \frac{3}{4}\) см и \(BC = \frac{3}{4}\sqrt{15}\) см.

2) Какие значения будут у неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С=90°), если известно, что ВС равно 5 см и sin A равно 2/3?

Для начала, нам известно, что сторона ВС равна 5 см. Давайте обозначим стороны АВ и АС как \(x\) и \(y\) соответственно.

Так как угол С равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Подставляем известные значения:
\[y^2 = x^2 + 5^2\]

Также, нам известно, что sin A равно 2/3.
Мы можем использовать определение sin A, чтобы найти соответствующий катет:
\[sin A = \frac{BC}{AC}\]
Подставляем значения:
\[\frac{2}{3} = \frac{5}{y}\]
\[y = \frac{5}{2/3}\]
\[y = \frac{15}{2}\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(y\) в уравнение Пифагора:
\[\left(\frac{15}{2}\right)^2 = x^2 + 5^2\]

Решая это уравнение, мы находим \(x\):
\[\left(\frac{15}{2}\right)^2 - 5^2 = x^2\]
\[225 - 25 = x^2\]
\[200 = x^2\]
\[x = \sqrt{200}\]
\[x = 10\sqrt{2}\]

Таким образом, значения неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС равны \(AB = 10\sqrt{2}\) см, \(AC = \frac{15}{2}\) см.

3) Какое значение имеет неизвестная сторона прямоугольного треугольника АВС (угол С=90°), если известно, что АС равно 8 см и tg B равно 3?

Для начала, нам известно, что сторона АС равна 8 см. Давайте обозначим стороны АВ и BC как \(x\) и \(y\) соответственно.

Так как угол С равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Подставляем известные значения:
\[8^2 = x^2 + y^2\]

Также, нам известно, что tg B равно 3.
Мы можем использовать определение tg B, чтобы найти соответствующий катет:
\[tg B = \frac{BC}{AB}\]
Подставляем значения:
\[3 = \frac{y}{x}\]
\[y = 3x\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(y\) в уравнение Пифагора:
\[8^2 = x^2 + (3x)^2\]

Решая это уравнение, мы находим \(x\):
\[64 = x^2 + 9x^2\]
\[64 = 10x^2\]
\[x^2 = \frac{64}{10}\]
\[x = \sqrt{\frac{32}{5}}\]
\[x = \frac{4}{\sqrt{5}}\]

Значение неизвестной стороны прямоугольного треугольника АВС равно \(AB = \frac{4}{\sqrt{5}}\) см.

4) Определите длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С=90°), если известно, что BC равно 10 см и cos B равно 3/5.

Для начала, нам известно, что сторона ВС равна 10 см. Давайте обозначим стороны АВ и AC как \(x\) и \(y\) соответственно.

Так как угол С равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Подставляем известные значения:
\[y^2 = x^2 + 10^2\]

Также, нам известно, что cos B равно 3/5.
Мы можем использовать определение cos B, чтобы найти соответствующий катет:
\[cos B = \frac{AB}{BC}\]
Подставляем значения:
\[\frac{3}{5} = \frac{x}{10}\]
\[x = \frac{3}{5} \times 10\]
\[x = 6\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(x\) в уравнение Пифагора:
\[y^2 = 6^2 + 10^2\]
\[y^2 = 36 + 100\]
\[y^2 = 136\]
\[y = \sqrt{136}\]

Таким образом, длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС равны \(AB = 6\) см и \(AC = \sqrt{136}\) см.