1. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет размеры: AD = 2, AA1 = 4, АВ = 2/15 . Точка M является серединой ребра C1D1

Добро пожаловать! Давайте решим задачу поэтапно.

а) Для доказательства перпендикулярности MN к CB1, нам понадобится использовать свойство параллелепипеда, которое гласит: "Диагонали противоположных граней параллелепипеда взаимно перпендикулярны и равны."

Мы знаем, что точка M является серединой ребра C1D1. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро C1D1 соответствует ребру CB1, и точка M является серединой этого ребра. Значит, отрезок CM является диагональю одной из граней параллелепипеда, а именно грани C1AB1.

Точка N находится на ребре AA1 с AN = 3. Это означает, что отрезок AN является диагональю одной из граней параллелепипеда, а именно грани ABCD.

Таким образом, отрезки CM и AN являются диагоналями противоположных граней параллелепипеда, следовательно, они перпендикулярны друг другу. Следовательно, отрезок MN также перпендикулярен к ребру CB1.

б) Чтобы найти угол между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C, нам понадобится использовать геометрическую формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Формула гласит: \(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{n}||\mathbf{v}|}}\), где \(\mathbf{n}\) - нормаль к плоскости, \(\mathbf{v}\) - направляющий вектор прямой, а \(\theta\) - искомый угол.

Нормаль к плоскости грани BB1C1C можно найти как векторное произведение двух векторов, принадлежащих плоскости. Выберем векторы CB1 и BC1. Тогда:
\(\mathbf{n} = \mathbf{CB1} \times \mathbf{BC1}\).

Теперь нам понадобится найти направляющий вектор прямой MN. Для этого вычислим разность координат точек M и N: \(\mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M}\).

Теперь, когда у нас есть векторы \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{MN}\), мы можем вычислить искомый угол используя формулу.

Это подробное и обоснованное решение задачи. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!