1. Парафразируйте следующие вопросы: а) Каков образ параллелограмма ABCD при симметрии относительно точки С? б) Каков

сторон параллелограмма, делит его на две равные площади.

1. а) При симметрии параллелограмма ABCD относительно точки C, его образом будет параллелограмм A"B"C"D", в котором сторона A"B" будет совпадать с отрезком CD, сторона B"C" - со стороной BC, сторона C"D" - с отрезком AB и сторона D"A" - с отрезком DA.

б) При симметрии параллелограмма ABCD относительно прямой AB, его образом будет параллелограмм A"B"C"D", в котором сторона A"B" будет совпадать с отрезком CD, сторона B"C" - с отрезком BC, сторона C"D" - с отрезком AB и сторона D"A" - с отрезком DA.

в) При параллельном переносе параллелограмма ABCD на вектор AC, его образом будет параллелограмм A"B"C"D", в котором сторона A"B" будет совпадать с отрезком BC, сторона B"C" - с отрезком CD, сторона C"D" - с отрезком DA и сторона D"A" - с отрезком AB.

г) При повороте параллелограмма ABCD вокруг точки D на 90° по часовой стрелке, его образом будет параллелограмм A"B"C"D", в котором сторона A"B" будет совпадать с отрезком AC, сторона B"C" - с отрезком BD, сторона C"D" - с отрезком DA и сторона D"A" - с отрезком CB.


2. Для начертания двух отрезков, параллельных и имеющих одинаковую длину, можно взять любой отрезок и его перенести параллельно самому себе. Точка центральной симметрии, при которой один отрезок отображается на другой, будет находиться на середине отрезка соединяющего концы этих отрезков.

3. Доказательство:
Пусть ABCD - параллелограмм, а M и N - середины сторон AB и CD соответственно. Чтобы доказать, что прямая MN делит параллелограмм на две равные площади, достаточно показать, что отрезок MN параллелен одной из сторон параллелограмма и его длина равна половине длины этой стороны.

Для начала, обратим внимание, что M - середина стороны AB, а N - середина стороны CD. Так как стороны AB и CD параллельны, отрезок MN будет прямой, соединяющей две точки на параллельных прямых. Поэтому, отрезок MN будет параллельным одной из сторон параллелограмма.

Далее, рассмотрим треугольники ABD и BCD как равнобедренные треугольники со сторонами AD=BC (так как AD || BC) и AB=CD (так как AB || CD). Тогда из свойства равнобедренных треугольников, серединный перпендикуляр MN к стороне BD будет проходить через его вершину B и делить эту сторону пополам. Следовательно, отрезок MN равен по длине половине стороны BD.

Таким образом, получаем, что отрезок MN параллелен стороне BD и его длина равна половине длины этой стороны, что доказывает, что прямая MN делит параллелограмм ABCD на две равные площади.