1. Определите ускорение точек, расположенных на поверхности барабана стиральной машины, которая вращается со скоростью

1. Для определения ускорения точек, расположенных на поверхности барабана стиральной машины, мы можем использовать формулу для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(v\) - скорость вращения, а \(r\) - радиус (расстояние от точки до оси вращения).

В данной задаче нам дана скорость вращения барабана стиральной машины \(v = 20\) м/с и расстояние до оси вращения \(r = 21\) см.

Переведем расстояние \(r\) из сантиметров в метры, так как скорость задана в метрах в секунду:

\[r = 21 \, \text{см} = \frac{{21}}{{100}} \, \text{м} = 0.21 \, \text{м}\]

Подставим известные значения в формулу для ускорения:

\[a = \frac{{(20 \, \text{м/с})^2}}{{0.21 \, \text{м}}} \approx \frac{{400}}{{0.21}} \approx 1904.76 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, ускорение точек на поверхности барабана стиральной машины составляет примерно 1904.76 м/с².

2. Для нахождения ускорения конца секундной стрелки часов, мы также можем использовать формулу для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(v\) - скорость вращения и \(r\) - расстояние от точки до центра вращения.

В данной задаче нам дано расстояние до центра вращения \(r = 2\) см и указано, что длина 1 окружности радиусом \(r\) определяется по формуле \(1 = 6.28r\).

Таким образом, длина окружности с радиусом \(r = 2\) см будет:

\[1 = 6.28 \cdot 2 = 12.56 \, \text{см}\]

Переведем длину окружности \(1\) из сантиметров в метры:

\[1 = 12.56 \, \text{см} = \frac{{12.56}}{{100}} \, \text{м} = 0.1256 \, \text{м}\]

Учтем, что за 60 секунд стрелка должна совершить полный оборот около центра вращения, поэтому за 1 секунду она совершает \(\frac{1}{60}\) оборота. То есть, скорость вращения будет равна \(\frac{{2 \pi r}}{{60}}\), где \(r\) - расстояние от точки до центра вращения.

Подставим известные значения в формулу для ускорения:

\[a = \frac{{(\frac{{2 \pi r}}{{60}})^2}}{{r}} = \frac{{\frac{{4 \pi^2 r^2}}{{3600}}}}{{r}} = \frac{{4 \pi^2 r}}{{3600}} = \frac{{\pi^2}}{{900}}r \approx \frac{{9.87}}{{900}} \cdot 2 \approx 0.0218 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, ускорение конца секундной стрелки часов составляет примерно \(0.0218\) м/с².

3. Для доказательства того, что ускорение крайней точки стрелки часов вдвое больше ускорения средней точки, нам необходимо использовать формулу для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(v\) - скорость вращения и \(r\) - расстояние от точки до центра вращения.

Мы знаем, что угловая скорость для все точки на стрелке равна и обозначается как \(\omega\). Угловая скорость определяется как измерение изменения угла на единицу времени. Поэтому, угловая скорость для точки на крайнем конце или для точки на средней точке будет одинакова.

Таким образом, угловая скорость для крайней точки \(v_{\text{крайняя}} = \omega \cdot r_{\text{крайняя}}\) и угловая скорость для средней точки \(v_{\text{средняя}} = \omega \cdot r_{\text{средняя}}\).

Заметим, что расстояние от крайней точки до центра вращения \(r_{\text{крайняя}}\) в два раза больше расстояния от средней точки до центра вращения \(r_{\text{средняя}}\), то есть \(r_{\text{крайняя}} = 2 \cdot r_{\text{средняя}}\).

Теперь мы можем рассчитать ускорения для этих точек, используя формулу \(a = \frac{{v^2}}{{r}}\):

\[a_{\text{крайняя}} = \frac{{(v_{\text{крайняя}})^2}}{{r_{\text{крайняя}}}} = \frac{{(\omega \cdot r_{\text{крайняя}})^2}}{{r_{\text{крайняя}}}} = \frac{{(\omega \cdot (2 \cdot r_{\text{средняя}}))^2}}{{2 \cdot r_{\text{средняя}}}} = \frac{{4 \cdot (\omega \cdot r_{\text{средняя}})^2}}{{2 \cdot r_{\text{средняя}}}} = 2 \cdot \frac{{(\omega \cdot r_{\text{средняя}})^2}}{{r_{\text{средняя}}}} = 2 \cdot a_{\text{средняя}}\]

Таким образом, мы доказали, что ускорение крайней точки стрелки часов вдвое больше ускорения средней точки.