1) Определите радиус окружности, которая описывает треугольник со сторонами длиной 13 см, 20 см и 21 см. 2) Если

1) Чтобы найти радиус окружности, описывающей треугольник, мы можем использовать формулу, которая связывает радиус (R) с длинами сторон треугольника. Формула выглядит так:
\[R = \frac{abc}{4S},\]
где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Для того, чтобы использовать эту формулу, нам необходимо вычислить площадь треугольника. Мы можем воспользоваться формулой Герона:
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]
где p - полупериметр треугольника, определяемый как сумма длин сторон, деленная на 2:
\[p = \frac{a+b+c}{2}.\]

Теперь, подставив значения сторон треугольника (a = 13 см, b = 20 см, c = 21 см) в формулу Герона, мы можем вычислить площадь треугольника:
\[p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = 27.\]
\[S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7938} \approx 89.11 \text{ см}^2.\]

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя полученное значение площади треугольника:
\[R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot \sqrt{7938}} \approx 15.43 \text{ см}.\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей данный треугольник, примерно равен 15.43 см.

2) Чтобы найти расстояние от точки A до недоступной точки B, мы можем использовать теорему синусов. Данная теорема гласит:
\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C},\]
где AC - известное расстояние, AB - искомое расстояние, A и C - известные углы.

В данном случае, у нас известно AC = 50 м, A = 65 градусов и C = 80 градусов. Подставим эти значения в формулу:
\[\frac{50}{\sin 65^\circ} = \frac{AB}{\sin 80^\circ}.\]

Теперь, чтобы найти AB, нужно решить данное уравнение относительно AB. Для этого умножим обе части уравнения на \(\sin 80^\circ\):
\[AB = \frac{50 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 56.56 \text{ м}.\]

Таким образом, расстояние от точки A до недоступной точки B примерно равно 56.56 м.

5) Чтобы выразить биссектрису угла треугольника через его гипотенузу и острый угол, мы можем воспользоваться формулой:
\[AD = \frac{2bc\cos\left(\frac{B}{2}\right)}{b+c},\]
где AD - биссектриса угла A в треугольнике ABC, a, b и c - длины сторон треугольника, B - известный острый угол.

В данном случае, у нас известна гипотенуза c и один из острых углов B. Подставим эти значения в формулу:
\[AD = \frac{2c\cos\left(\frac{B}{2}\right)}{1+\cos B}.\]

Таким образом, мы выразили биссектрису угла треугольника через его гипотенузу c и острый угол B.