1) Определите радиус окружности, которая описывает треугольник со сторонами длиной 13 см, 20 см и 21 см. 2) Если

1) Чтобы найти радиус окружности, описывающей треугольник, мы можем использовать формулу, которая связывает радиус (R) с длинами сторон треугольника. Формула выглядит так:
$$R=\frac{abc}{4S},$$
где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Для того, чтобы использовать эту формулу, нам необходимо вычислить площадь треугольника. Мы можем воспользоваться формулой Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где p - полупериметр треугольника, определяемый как сумма длин сторон, деленная на 2:
$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Теперь, подставив значения сторон треугольника (a = 13 см, b = 20 см, c = 21 см) в формулу Герона, мы можем вычислить площадь треугольника:
$$p=\frac{13+20+21}{2}=27.$$
$$S=\sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}=\sqrt{27\cdot 14\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7938}\approx 89.11{\text{ см}}^2.$$

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя полученное значение площади треугольника:
$$R=\frac{13\cdot 20\cdot 21}{4\cdot \sqrt{7938}}\approx 15.43\text{ см}.$$

Таким образом, радиус окружности, описывающей данный треугольник, примерно равен 15.43 см.

2) Чтобы найти расстояние от точки A до недоступной точки B, мы можем использовать теорему синусов. Данная теорема гласит:
$$\frac{AC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C},$$
где AC - известное расстояние, AB - искомое расстояние, A и C - известные углы.

В данном случае, у нас известно AC = 50 м, A = 65 градусов и C = 80 градусов. Подставим эти значения в формулу:
$$\frac{50}{\sin {65}^{\circ }}=\frac{AB}{\sin {80}^{\circ }}.$$

Теперь, чтобы найти AB, нужно решить данное уравнение относительно AB. Для этого умножим обе части уравнения на $\sin {80}^{\circ }$:
$$AB=\frac{50\cdot \sin {80}^{\circ }}{\sin {65}^{\circ }}\approx 56.56\text{ м}.$$

Таким образом, расстояние от точки A до недоступной точки B примерно равно 56.56 м.

5) Чтобы выразить биссектрису угла треугольника через его гипотенузу и острый угол, мы можем воспользоваться формулой:
$$AD=\frac{2bc\cos \left(\frac{B}{2}\right)}{b+c},$$
где AD - биссектриса угла A в треугольнике ABC, a, b и c - длины сторон треугольника, B - известный острый угол.

В данном случае, у нас известна гипотенуза c и один из острых углов B. Подставим эти значения в формулу:
$$AD=\frac{2c\cos \left(\frac{B}{2}\right)}{1+\cos B}.$$

Таким образом, мы выразили биссектрису угла треугольника через его гипотенузу c и острый угол B.