1. Определите продолжительность синодического периода планеты, если время ее обращения вокруг Солнца составляет

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1. Чтобы определить синодический период планеты, мы должны учесть, что это время между двумя последовательными مоментами, когда планета находится в одной точке такой составной линии, как солнечне-земной или солнечно-планетной оси. Данный период получается путем учета времени обращения планеты вокруг Солнца и вокруг своей оси.

Обращение планеты вокруг Солнца занимает 4,5 года. Поскольку синодический период является временем между двумя последовательными совпадениями планеты с Солнцем, то он будет короче времени обращения планеты вокруг Солнца. Давайте рассчитаем его.

Синодический период, \(P_s\), можно выразить следующей формулой:
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1}{P_1} - \dfrac{1}{P_2}}\]
Где \(P_1\) - период обращения планеты вокруг Солнца, а \(P_2\) - период обращения Земли вокруг Солнца.

В нашем случае, \(P_1 = 4,5\) года, а \(P_2 = 1\) год (так как Земля обращается вокруг Солнца за 1 год). Подставляя значения в формулу, получаем:
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1}{4,5} - \dfrac{1}{1}}\]
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{2}{9}}\]
\[P_s = \dfrac{9}{2}\]
\[P_s = 4,5\] лет

Таким образом, синодический период планеты равен 4,5 лет.

2. Для определения следующего противостояния Марса, мы должны учесть период обращения Марса вокруг своей оси.

Период обращения Марса вокруг своей оси составляет 686 дней. Чтобы определить следующее противостояние Марса, мы должны добавить период обращения Марса вокруг своей оси к дате предыдущего противостояния.

Поскольку противостояние Марса произошло 7 ноября 2005 года, добавим 686 дней, чтобы определить дату следующего противостояния:

\[7 ноября 2005 года + 686 дней = 15 сентября 2007 года\]

Таким образом, следующее противостояние Марса наступит 15 сентября 2007 года.

3. Для определения расстояния от Земли до Венеры при ее наибольшем удалении от Солнца, мы должны учесть ее орбиту и расстояние между Солнцем и Землей.

Наибольшее удаление Венеры от Солнца составляет 47 градусов. Поскольку орбита Венеры является почти круговой, рассмотрим треугольник, образуемый Солнцем, Землей и Венерой.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы определить расстояние от Земли до Венеры. В треугольнике:

\(\angle SEV\) - угол между линиями Солнце-Земля и Солнце-Венера
\(c\) - расстояние между Солнцем и Землей (постоянное значение)
\(a\) - расстояние между Солнцем и Венерой
\(b\) - расстояние между Землей и Венерой

Используя тригонометрический закон косинусов, мы можем записать:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle SEV)\]

Мы знаем \(c\) = 1 (так как это расстояние между Солнцем и Землей), \(a\) = 1 (так как это расстояние между Солнцем и Венерой), и \(\angle SEV\) = 47 градусов.

Подставляя значения в уравнение, получаем:

\[1^2 = 1^2 + b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b \cdot \cos(47^\circ)\]
\[1 = 1 + b^2 - 2b \cdot \cos(47^\circ)\]
\[0 = b^2 - 2b \cdot \cos(47^\circ)\]

Теперь решим квадратное уравнение, подставляя \(\cos(47^\circ) \approx 0.68\):

\[b^2 - 2 \cdot 0.68 \cdot b = 0\]
\[b(b - 2 \cdot 0.68) = 0\]
\[b = 0 \quad \text{или} \quad b = 2 \cdot 0.68\]

Из физических соображений очевидно, что расстояние между Землей и Венерой не равно нулю (тогда они бы находились на одной орбите). Таким образом, расстояние от Земли до Венеры составляет:

\[b \approx 1.36\]

Таким образом, расстояние от Земли до Венеры при наибольшем удалении Венеры от Солнца составляет примерно 1.36 астрономических единиц.

4. Чтобы рассчитать синодический период обращения Сатурна, мы должны учесть время его полного оборота вокруг Солнца.

Время полного оборота Сатурна вокруг Солнца составляет 29.46 лет. Поскольку синодический период является временем между двумя последовательными совпадениями Сатурна с Солнцем, он будет короче времени полного оборота Сатурна вокруг Солнца. Давайте рассчитаем его.

Синодический период, \(P_s\), можно выразить следующей формулой:
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1}{P_1} - \dfrac{1}{P_2}}\]
Где \(P_1\) - период обращения Сатурна вокруг Солнца, а \(P_2\) - период обращения Земли вокруг Солнца.

В нашем случае, \(P_1 = 29.46\) лет, а \(P_2 = 1\) год (так как Земля обращается вокруг Солнца за 1 год). Подставляя значения в формулу, получаем:
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1}{29.46} - \dfrac{1}{1}}\]
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1}{29.46} - \dfrac{1}{1}}\]
\[P_s = \dfrac{1}{\dfrac{1 - 29.46}{29.46}}\]
\[P_s = \dfrac{1}{-\dfrac{28.46}{29.46}}\]
\[P_s = \dfrac{29.46}{28.46}\]
\[P_s \approx 1.035\]

Таким образом, синодический период обращения Сатурна составляет примерно 1.035 лет.

5. Чтобы рассчитать сидерический период обращения Урана, мы должны учесть период между последовательными противостояниями.

Сидерический период обращения планеты является временем, за которое планета возвращается в исходное положение относительно звездного фона. Обратите внимание, что сидерический период не зависит от движения Земли вокруг Солнца.

В задаче не указано, через какой период повторяются противостояния Урана. Если это период неизвестен, то мы не можем рассчитать сидерический период обращения Урана только на основе предоставленной информации.

Если у нас есть информация о периодах повторения противостояний, пожалуйста, предоставьте ее, и я смогу помочь вам рассчитать сидерический период обращения Урана.