1. Определите площадь треугольника ABC, если известны длины его сторон: AB=17, BC=10, AC=9, а синус угла A равен 8/17

Конечно! Давайте решим задачу поочередно.

1. Для определения площади треугольника ABC мы можем использовать формулу Герона. Она основана на длинах сторон треугольника. По формуле Герона площадь треугольника можно найти как квадратный корень из произведения разности полупериметра треугольника и длин каждой его стороны. Давайте распишем формулу:

Площадь треугольника ABC (S) = корень от (p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

Где p - полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется как сумма длин всех сторон, деленная на 2:

p = (AB + BC + AC) / 2

Теперь, подставим известные значения:

AB = 17, BC = 10, AC = 9

Сначала найдем полупериметр:

p = (17 + 10 + 9) / 2 = 36 / 2 = 18

Теперь можем рассчитать площадь:

S = корень от (18 * (18 - 17) * (18 - 10) * (18 - 9)) = корень от (18 * 1 * 8 * 9) = корень от 1296 = 36

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 36 квадратных единиц.

2. Для нахождения координат центра О и радиуса r окружности, определенной уравнением \(x^2-2x+y^2+4y=0\), нам потребуется привести уравнение к каноническому виду окружности.

Сначала сгруппируем все члены уравнения:

\(x^2 - 2x + y^2 + 4y = 0\)

Приведем подобные слагаемые и перенесем свободный член в другую сторону:

\(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 1 + 4\)

Преобразуем выражение, добавив и вычтя необходимые константы:

\((x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 5\)

Произведем замену, чтобы привести к каноническому виду:

\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5\)

Теперь мы можем определить координаты центра О и радиус r окружности:

Вид уравнения окружности: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Исходя из этого, мы можем определить, что координаты центра О равны (1, -2), а радиус окружности r равен \(\sqrt{5}\).

Ответ: Координаты центра О окружности равны (1, -2), а радиус окружности r равен \(\sqrt{5}\).