1) Определите центр окружности и ее радиус по заданному уравнению. а) Найдите координаты центра окружности и ее радиус

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1) Определение центра окружности и ее радиуса по заданному уравнению.
а) Чтобы найти центр окружности и ее радиус по данному уравнению, нам понадобится привести уравнение окружности к стандартному виду: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, где $(a,b)$ - координаты центра окружности, а $r$ - радиус окружности.

По данному уравнению $x^2+(y+4{)}^2=25$, мы видим, что $a=0$, $b=-4$ и $r^2=25$. Из этого следует, что центр окружности находится в точке $(0,-4)$, а радиус окружности равен $5$.

б) Если задано уравнение окружности в общем виде, например, $x^2+y^2+6x-4y-12=0$, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1) Перенести все члены уравнения влево, чтобы получить стандартный вид $x^2+y^2+cx+dy+e=0$.
2) Найдите координаты центра окружности, используя формулы $a={\displaystyle \frac{-c}{2}}$ и $b={\displaystyle \frac{-d}{2}}$.
3) Вычислите радиус окружности, используя формулу $r^2=a^2+b^2-e$.

2) Проверка принадлежности точек окружности и прямой.
а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка К(2; -1) окружности с уравнением $x^2+(y+4{)}^2=25$, мы должны подставить координаты точки К в уравнение окружности и проверить, выполняется ли равенство.
Подстановка координат точки К в уравнение дает нам $2^2+(-1+4{)}^2=4+3^2=4+9=13$. Мы видим, что это не равно $25$, поэтому точка К(2; -1) не принадлежит данной окружности.

б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка P(-3; -1) прямой с уравнением $-2x+4y-2=0$, мы должны подставить координаты точки Р в уравнение прямой и проверить, выполняется ли равенство.
Подстановка координат точки Р в уравнение даёт нам $-2(-3)+4(-1)-2=6-4-2=0$. Мы видим, что это равно $0$, поэтому точка P(-3; -1) принадлежит данной прямой.

3) Нахождение координат точек пересечения прямой с осями координат.
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с уравнением $-3x+4y-12=0$ с осями координат (ось X и ось Y), мы должны подставить $x=0$ и найти значение $y$ для оси Y и подставить $y=0$ и найти значение $x$ для оси X.
1) При $x=0$, уравнение превращается в $-3(0)+4y-12=0$, что даёт нам $4y-12=0$.
Решая это уравнение, мы получаем $4y=12$, а затем $y={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$. Таким образом, получаем точку пересечения с осью Y: (0, 3).
2) При $y=0$, уравнение превращается в $-3x+4(0)-12=0$, что даёт нам $-3x-12=0$.
Решая это уравнение, мы получаем $-3x=12$, а затем $x={\displaystyle \frac{12}{-3}}=-4$. Таким образом, получаем точку пересечения с осью X: (-4, 0).

Надеюсь, эти подробные и пошаговые решения помогут вам с задачами! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.