1) Определите центр окружности и ее радиус по заданному уравнению. а) Найдите координаты центра окружности и ее радиус

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1) Определение центра окружности и ее радиуса по заданному уравнению.
а) Чтобы найти центр окружности и ее радиус по данному уравнению, нам понадобится привести уравнение окружности к стандартному виду: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

По данному уравнению \(x^2 + (y + 4)^2 = 25\), мы видим, что \(a = 0\), \(b = -4\) и \(r^2 = 25\). Из этого следует, что центр окружности находится в точке \((0, -4)\), а радиус окружности равен \(5\).

б) Если задано уравнение окружности в общем виде, например, \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0\), нам необходимо выполнить следующие шаги:
1) Перенести все члены уравнения влево, чтобы получить стандартный вид \(x^2 + y^2 + cx + dy + e = 0\).
2) Найдите координаты центра окружности, используя формулы \(a = \dfrac{-c}{2}\) и \(b = \dfrac{-d}{2}\).
3) Вычислите радиус окружности, используя формулу \(r^2 = a^2 + b^2 - e\).

2) Проверка принадлежности точек окружности и прямой.
а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка К(2; -1) окружности с уравнением \(x^2 + (y+4)^2 = 25\), мы должны подставить координаты точки К в уравнение окружности и проверить, выполняется ли равенство.
Подстановка координат точки К в уравнение дает нам \(2^2 + (-1+4)^2 = 4 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Мы видим, что это не равно \(25\), поэтому точка К(2; -1) не принадлежит данной окружности.

б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка P(-3; -1) прямой с уравнением \(-2x + 4y - 2 = 0\), мы должны подставить координаты точки Р в уравнение прямой и проверить, выполняется ли равенство.
Подстановка координат точки Р в уравнение даёт нам \(-2(-3) + 4(-1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0\). Мы видим, что это равно \(0\), поэтому точка P(-3; -1) принадлежит данной прямой.

3) Нахождение координат точек пересечения прямой с осями координат.
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с уравнением \(-3x + 4y - 12 = 0\) с осями координат (ось X и ось Y), мы должны подставить \(x = 0\) и найти значение \(y\) для оси Y и подставить \(y = 0\) и найти значение \(x\) для оси X.
1) При \(x = 0\), уравнение превращается в \(-3(0) + 4y - 12 = 0\), что даёт нам \(4y - 12 = 0\).
Решая это уравнение, мы получаем \(4y = 12\), а затем \(y = \dfrac{12}{4} = 3\). Таким образом, получаем точку пересечения с осью Y: (0, 3).
2) При \(y = 0\), уравнение превращается в \(-3x + 4(0) - 12 = 0\), что даёт нам \(-3x - 12 = 0\).
Решая это уравнение, мы получаем \(-3x = 12\), а затем \(x = \dfrac{12}{-3} = -4\). Таким образом, получаем точку пересечения с осью X: (-4, 0).

Надеюсь, эти подробные и пошаговые решения помогут вам с задачами! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.