Тікбұрыштағы гипотенузасы 13 см-ге, ал ауданы 30 см2-ге тең болатын үшбұрыштың периметрін табыңыз

Хорошо, давайте решим задачу. У нас есть равнобедренный треугольник, в котором гипотенуза равна 13 см, а площадь равна 30 см². Нам нужно найти периметр треугольника.

Пусть основание треугольника равно \(a\) см, а высота, проведенная к основанию, равна \(h\) см. Так как треугольник равнобедренный, то его боковые стороны равны. Поэтому длина этих сторон также равна \(a\) см.

Зная формулу площади треугольника, можно записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 30\]

Так как высота \(h\) - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к основанию, а равнобедренный треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника, то \(h\) является высотой одного из этих прямоугольных треугольников.

Давайте найдем длину основания \(a\). По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с гипотенузой \(13\) см и катетами \(a\) см, катет \(h\) см мы можем написать следующее уравнение:

\[a^2 + h^2 = 13^2\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 30\]
\[a^2 + h^2 = 13^2\]

Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи. Давайте это сделаем.

Первое уравнение можно записать в виде:

\[ah = 60\]

Разрешим его относительно \(h\):

\[h = \frac{60}{a}\]

Теперь подставим этот результат во второе уравнение:

\[a^2 + \left(\frac{60}{a}\right)^2 = 13^2\]

Разложим правую часть этого уравнения:

\[a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169\]

Умножим обе части уравнения на \(a^2\):

\[a^4 + 3600 = 169a^2\]

Теперь приведем уравнение в квадратичную форму:

\[a^4 - 169a^2 + 3600 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(a^2\). Решим его с помощью подстановки \(x = a^2\):

\[x^2 - 169x + 3600 = 0\]

Разложим левую часть этого уравнения:

\[(x - 25)(x - 144) = 0\]

Теперь найдем значения \(x\) (заметим, что \(x \geq 0\)):

\(x_1 = 25\) и \(x_2 = 144\)

Так как \(x = a^2\), то:

\(a^2 = 25\) и \(a^2 = 144\)

Найдем значения \(a\):

\(a_1 = 5\) и \(a_2 = 12\)

Теперь мы получили два возможных значения для длины основания \(a\) равнобедренного треугольника.

Подставим первое значение в первое уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h = 30\]

\[h = 12\]

Периметр треугольника будет равен:

\[P = 2 \cdot a + b\]

\[P = 2 \cdot 5 + 12\]

\[P = 10 + 12\]

\[P = 22\]

Для первого значения \(a\) периметр равнобедренного треугольника равен 22 см.

Теперь подставим второе значение в первое уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h = 30\]

\[h = 5\]

Периметр треугольника будет равен:

\[P = 2 \cdot a + b\]

\[P = 2 \cdot 12 + 5\]

\[P = 24 + 5\]

\[P = 29\]

Для второго значения \(a\) периметр равнобедренного треугольника равен 29 см.

Итак, у нас есть два возможных значения для периметра равнобедренного треугольника: 22 см и 29 см.