1. Окружность и прямая пересекаются в двух точках, если: - Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу

1. Окружность и прямая пересекаются в двух точках, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Давайте рассмотрим эту ситуацию более подробно.

Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Также, есть прямая, которую обозначим как \(AB\), и она пересекает окружность в точках \(P\) и \(Q\). Нам нужно определить, когда именно такое пересечение возможно.

Из условия задачи мы знаем, что расстояние от центра окружности до прямой \(AB\) больше радиуса окружности. Это означает, что отрезок, проведенный из центра окружности до прямой, должен быть длиннее радиуса. Давайте обозначим точку, где этот отрезок пересекает прямую, как \(M\).

Так как отрезок \(OM\) является перпендикуляром к прямой \(AB\), то радиус \(OM\) будет равен половине длины отрезка \(PQ\). Пусть длина отрезка \(PQ\) равна \(d\). Тогда \(OM = \frac{d}{2}\).

Согласно условию, мы знаем, что \(OM > r\), а также \(OM = \frac{d}{2}\) и \(r\) - радиус окружности. Поэтому можем записать неравенство:

\[\frac{d}{2} > r\]

Чтобы получить две точки пересечения, отрезок \(PQ\) должен быть длиннее, чем два радиуса окружности. Если же длина отрезка \(PQ\) равна двум радиусам или меньше, то пересечение будет только в одной точке или вовсе не будет пересечения.

2. Окружность и прямая пересекаются в одной точке, если расстояние от этой точки до центра окружности равно радиусу этой окружности. Это можно понять, рассмотрев следующую ситуацию.

Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Также, есть прямая, которую обозначим как \(AB\), и она пересекает окружность в точке \(P\).

Для того, чтобы прямая и окружность пересекались в одной точке, расстояние от этой точки пересечения до центра окружности должно быть равно радиусу окружности. Пусть этот отрезок будет обозначен как \(OP\).

Если \(OP = r\), это означает, что отрезок \(OP\) является радиусом окружности, и он имеет ту же длину, что и радиус. Таким образом, прямая и окружность пересекаются только в одной точке.

3. Окружность и прямая не пересекаются, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. Понимание этого факта может нам помочь определить, пересекаются ли окружность и прямая, или же они не имеют общих точек.

Если отрезок, проведенный из центра окружности до прямой, больше радиуса, то окружность и прямая не пересекаются. Это связано с тем, что радиус окружности представляет собой расстояние от центра до любой точки окружности. Если расстояние от центра до прямой длиннее, чем радиус, то значит ни одна точка окружности не расположена на прямой.

Таким образом, если мы ищем пересечение окружности и прямой, и уточнено, что расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то мы можем сделать вывод, что окружность и прямая не пересекаются.