1. Найти угловое ускорение ε в момент времени t = 3 с, если зависимость угла поворота φ радиуса колеса от времени

Хорошо, давайте начнем с каждой задачи по очереди.

1. Для нахождения углового ускорения ε в момент времени t = 3 с, мы можем использовать формулу для нахождения производной от зависимости угла поворота по времени. В данном случае, уравнение зависимости угла поворота φ(t) = 4 + 2t + t^2.

Сначала найдем производную от этого уравнения по времени:

\[\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4 + 2t + t^2)\]

Продифференцировав, получим:

\[\frac{d\phi}{dt} = 2 + 2t\]

Теперь, чтобы найти угловое ускорение ε в момент времени t = 3 с, подставим значение t в нашу производную:

\[\epsilon = \frac{d\phi}{dt}\bigg|_{t=3} = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 \, \text{рад/с}^2\]

Таким образом, угловое ускорение в момент времени t = 3 с равно 8 рад/с^2.

2. Чтобы определить скорость падения тела, брошенного под углом α = 300 к горизонту со скоростью v0 = 5 м/с, мы можем разложить начальную скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты. Горизонтальная скорость не меняется во время движения, поэтому она останется равной v0 = 5 м/с.
Так как тело свободно падает, вертикальная скорость будет меняться под воздействием силы тяжести. Для определения вертикальной скорости мы можем использовать следующую формулу:

\[v_y = v_0 \cdot \sin(\alpha)\]

Подставим значения:
\[v_y = 5 \cdot \sin(30^\circ)\]
\[v_y = 5 \cdot 0.5\]
\[v_y = 2.5\]

Таким образом, скорость падения тела под углом α = 30˚ к горизонту составляет v_y = 2.5 м/с.

3. Для нахождения значения угловой скорости ω в момент времени t = 3 с, аналогично первой задаче, мы можем использовать формулу для нахождения производной от зависимости угла поворота по времени.

Найдем производную от уравнения зависимости угла поворота φ(t) = 4 + 2t + t^2:

\[\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4 + 2t + t^2)\]

Получим:

\[\frac{d\phi}{dt} = 2 + 2t\]

Теперь, чтобы найти угловую скорость ω в момент времени t = 3 с, подставим значение t в нашу производную:

\[\omega = \frac{d\phi}{dt}\bigg|_{t=3} = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 \, \text{рад/с}\]

Таким образом, угловая скорость в момент времени t = 3 с равна 8 рад/с.

4. Для нахождения работы действующей силы, если тело под действием силы F = 5 Н переместилось на расстояние s = 4 м, мы можем использовать следующую формулу:

\[W = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)\]

В данном случае, сила F направлена вдоль направления перемещения, поэтому угол между силой и направлением перемещения равен 0 градусов.

Подставим значения:
\[W = 5 \, \text{Н} \cdot 4 \, \text{м} \cdot \cos(0^\circ)\]
\[W = 5 \, \text{Н} \cdot 4 \, \text{м} \cdot 1\]
\[W = 20 \, \text{Дж}\]

Таким образом, работа действующей силы, если тело под действием силы F = 5 Н переместилось на расстояние s = 4 м, равна 20 Дж.