1. Найдите значения тангенциального ускорения аτ и нормального ускорения аn материальной точки, движущейся

Задача 1. Найдите значения тангенциального ускорения \(a_\text{т}\) и нормального ускорения \(a_\text{н}\) материальной точки, движущейся по окружности радиуса \(r\), в момент времени \(t\).

Для решения этой задачи нам понадобится знать зависимость угла поворота \(\varphi(t)\) от времени, которая задана следующим образом: \(\varphi = 4 + 3t + 0,5t^2\).

Тангенциальное ускорение \(a_\text{т}\) можно найти, используя следующую формулу:
\[a_\text{т} = r \cdot \frac{{d^2 \varphi}}{{dt^2}}\]

Нормальное ускорение \(a_\text{н}\) можно найти, используя следующую формулу:
\[a_\text{н} = r \cdot \left(\frac{{d\varphi}}{{dt}}\right)^2\]

Для нахождения значений тангенциального и нормального ускорений в момент времени \(t = 1\) сек, подставим \(t = 1\) сек в выражения для угла поворота и найдем его значение:
\[\varphi = 4 + 3 \cdot 1 + 0,5 \cdot 1^2 = 7,5 \text{ рад}\]

Теперь найдем первую производную угла поворота \(\varphi\) по времени \(t\):
\[\frac{{d\varphi}}{{dt}} = 3 + t\]

Подставим \(t = 1\) сек в полученное выражение для первой производной:
\[\frac{{d\varphi}}{{dt}} = 3 + 1 = 4 \text{ рад/с}\]

Теперь найдем вторую производную угла поворота \(\varphi\) по времени \(t\):
\[\frac{{d^2 \varphi}}{{dt^2}} = 1\]

Подставим \(t = 1\) сек в полученное выражение для второй производной:
\[\frac{{d^2 \varphi}}{{dt^2}} = 1 \text{ рад/с}^2\]

Теперь подставим все полученные значения в формулы для тангенциального и нормального ускорения:
\[a_\text{т} = r \cdot \frac{{d^2 \varphi}}{{dt^2}} = 0,2 \cdot 1 = 0,2 \text{ м/с}^2\]
\[a_\text{н} = r \cdot \left(\frac{{d\varphi}}{{dt}}\right)^2 = 0,2 \cdot 4^2 = 3,2 \text{ м/с}^2\]

Ответ: Значение тангенциального ускорения на момент времени \(t = 1\) сек равно \(0,2\) м/с\(^2\) и значение нормального ускорения равно \(3,2\) м/с\(^2\).

Задача 2. Какова максимальная скорость тела массой \(m\), на которое действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости движения тела: \(f_\text{сопр} = r v^2\)? Здесь \(r\) – коэффициент сопротивления. Ускорение свободного падения равно \(10\) м/с\(^2\). Известные данные: \(m = 2\) кг, \(r = 0,4\) кг/с.

Для решения этой задачи можно использовать второй закон Ньютона, который гласит: \(\sum F = ma\), где \(\sum F\) – сумма всех сил, \(m\) – масса тела и \(a\) – ускорение тела.

В нашем случае на тело действует сила сопротивления \(f_\text{сопр} = r v^2\), поэтому закон Ньютона записывается следующим образом:
\[f_\text{сопр} = ma\]

Мы хотим найти максимальную скорость тела, поэтому можно записать ускорение тела как производную скорости по времени \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\).

Теперь подставим выражение для силы сопротивления и ускорения в закон Ньютона:
\[r v^2 = m \frac{{dv}}{{dt}}\]

Для решения этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе стороны уравнения по отдельности:
\[\int r \, dt = \int \frac{{m \, dv}}{{v^2}}\]

Интегрируя, получим:
\[rt + C_1 = - \frac{{m}}{{v}} + C_2\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - постоянные интегрирования.

Теперь решим получившееся уравнение относительно скорости \(v\):
\[rt + C_1 = - \frac{{m}}{{v}} + C_2\]

Перегруппируем слагаемые:
\[rt + \frac{{m}}{{v}} = C_2 - C_1\]

Обозначим \(C = C_2 - C_1\) - новую постоянную.

\[rt + \frac{{m}}{{v}} = C\]

Переставим слагаемые и выразим скорость:
\[\frac{{m}}{{v}} = C - rt\]

\[v = \frac{{m}}{{C - rt}}\]

Теперь нам нужно найти максимальную скорость, поэтому приравняем знаменатель к нулю и решим получившееся уравнение:
\[C - rt = 0\]

\[C = rt\]

Подставим это значение \(C\) обратно в формулу для скорости:
\[v = \frac{{m}}{{rt - rt}}\]

\[v = \frac{{m}}{{0}}\]

Видим, что знаменатель обращается в ноль, что невозможно.

Ответ: В данной задаче максимальная скорость тела не ограничена и стремится к бесконечности. Тело будет ускоряться постоянно, поэтому оно не сможет достичь какой-либо конечной максимальной скорости.

Задача 3. Найдите значение силы, действующей на тело