16.40. В каком период времени тело охладится до 30° в комнате с температурой воздуха 20°, если оно охлаждается от 100°

Хорошо, давайте поэтапно решим данную задачу.

Дано:
- Начальная температура тела: 100°
- Конечная температура тела: 60°
- Температура окружающего воздуха: 20°
- Закон охлаждения тела: \(\frac{dT}{dt} = k(T - 20)\)

Первый шаг:
Чтобы найти значение коэффициента пропорциональности \(k\), воспользуемся начальным значением температуры тела и скоростью охлаждения.
\(\frac{dT}{dt} = k(100 - 20) = 80k\)

Второй шаг:
Используем вторую информацию, где температура тела равна 60°, чтобы найти время, за которое тело охладится от 100° до 60°. Заменяем \(T\) и \(\frac{dT}{dt}\) в уравнении закона охлаждения и интегрируем его, чтобы найти выражение для времени.
\(\frac{dT}{dt} = 80k\)
\(\frac{dT}{T - 20} = 80kdt\)
\(\int \frac{dT}{T - 20} = \int 80kdt\)
\(\ln|T - 20| = 80kt + C\), где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования

Третий шаг:
Для нахождения конкретного значения времени используем начальные условия: при \(t = 0\) температура тела равна 100°.
\(\ln|100 - 20| = 80k \cdot 0 + C\)
\(C = \ln 80\)

Четвёртый шаг:
Подставляем полученное значение постоянной \(C\) и конечную температуру \(T = 60\) в уравнение для времени.
\(\ln|60 - 20| = 80k \cdot t + \ln 80\)
\(\ln 40 = 80kt + \ln 80\)
\(\ln \frac{40}{80} = 80kt\)
\(\ln \frac{1}{2} = 80kt\)
\(-\ln 2 = 80kt\)

Последний шаг:
Найдём \(t\), подставив значение коэффициента пропорциональности \(k = -\frac{\ln 2}{80}\).
\(-\ln 2 = 80 \cdot t \cdot \left(-\frac{\ln 2}{80}\right)\)
\(\ln 2 = 80 \cdot t \cdot \frac{\ln 2}{80}\)
\(\ln 2 = \ln 2\), что верно.

Таким образом, время, за которое тело охладится от 100° до 60° в комнате с температурой воздуха 20°, составляет \(\ln 2\) единиц времени. Ответом будет \(\ln 2\).