1) Найдите значение диагонали параллелепипеда с основанием в форме прямоугольника со сторонами 8 см и 6 см, и высотой

1) Для нахождения значения диагонали параллелепипеда сначала определим длину диагонали основания прямоугольника, используя теорему Пифагора. Диагональ основания - это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 8 см и 6 см:

\[d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

Затем найдем длину диагонали параллелепипеда, используя теорему Пифагора. Диагональ параллелепипеда - это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами диагонали основания и высоты:

\[D = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 9^2} = \sqrt{100 + 81} = \sqrt{181} \approx 13.45 \text{ см}\]

Таким образом, значение диагонали параллелепипеда равно примерно 13.45 см.

2) Для подсчета боковой поверхности параллелепипеда сначала определим длину боковых сторон параллелограмма. В параллелограмме, у которого стороны 8 см и 32 см, и угол между ними 60°, сторона, соответствующая углу 60°, будет равна 32 см. Для нахождения высоты параллелограмма (длины боковой стороны параллелепипеда) используем формулу для высоты параллелограмма в зависимости от угла:

\[h = 32 \cdot \sin(60°) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \text{ см}\]

Теперь, чтобы найти боковую поверхность параллелепипеда, умножим длину боковых сторон на высоту:

\[S = 2 \cdot (8 + 16\sqrt{3} + 32) \cdot 9 = 2 \cdot (8 + 16\sqrt{3} + 32) \cdot 9 = 2 \cdot (40 + 16\sqrt{3}) \cdot 9 = 720 + 288\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Для подсчета объема параллелепипеда умножим площадь основания на высоту:

\[V = (8 \cdot 32 \cdot \sin(60°)) \cdot 9 = (8 \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 9 = 144\sqrt{3} \text{ см}^3\]

Таким образом, боковая поверхность параллелепипеда равна \(720 + 288\sqrt{3}\) квадратных сантиметров, а объем равен \(144\sqrt{3}\) кубических сантиметров.

3) Чтобы найти объем пирамиды, у которой основанием служит треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, и каждое боковое ребро наклонено к плоскости его основания под углом, нужно использовать формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь треугольника, используя полупериметр \(p\) и формулу Герона:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15 \text{ см}\]

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}^2\]

Теперь найдем высоту пирамиды \(h\) - это расстояние от вершины пирамиды до его основания, которое соответствует радиусу описанной окружности треугольника. По формуле для радиуса окружности, вписанной в треугольник, радиус обозначим как \(r\):

\[r = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 30} = \frac{780}{120} = 6.5 \text{ см}\]

Так как высота пирамиды является радиусом вписанной окружности, высота пирамиды равна 6.5 см.

Теперь, подставив значения в формулу объема пирамиды, найдем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6.5 = 65 \text{ см}^3\]