1. Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда, если его основа - квадрат с ребром 5 см, а объем равен 400 см³

Давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Для начала, нам известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен 400 см³. Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит следующим образом:
\[V = S \cdot h\]
где V - объем, S - площадь основания, h - высота.

В данной задаче площадь основания равна площади квадрата со стороной 5 см, то есть
\[S = 5 \cdot 5 = 25 \, \text{см}^2\]

Вставим известные значения в формулу объема и найдем высоту:
\[400 = 25 \cdot h\]
\[h = \frac{400}{25} = 16 \, \text{см}\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда равна 16 см.

2. Для решения этой задачи, нам также понадобится формула объема призмы:
\[V = \frac{S \cdot h}{2}\]
где V - объем, S - площадь основания, h - высота.

У нас имеется правильная треугольная призма, а значит площадь основания равна
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
где a - ребро основания.

Вставим известные значения в формулу объема и найдем высоту:
\[200 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 \cdot h}{2}\]
\[200 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8h\]
\[h = \frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8} \approx 14,5 \, \text{см}\]

Таким образом, высота правильной треугольной призмы примерно равна 14,5 см.

3. Когда высота конуса уменьшается в 4 раза, то новая высота становится равной \(\frac{1}{4}\) от исходной высоты. Радиус основания остается неизменным.

Объем конуса вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
где V - объем, \(\pi\) - число пи (приближенно равно 3,14), r - радиус основания, h - высота.

Если высота уменьшается в 4 раза, то новая высота будет \(h_1 = \frac{h}{4}\).

Подставим новые значения в формулу объема и найдем новый объем:
\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{h}{4}\right)\]
\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{h}{4}\]
\[V_1 = \frac{1}{12} \pi r^2 h\]

Таким образом, новый объем конуса будет составлять \(\frac{1}{12}\) от исходного объема.

4. Объем шара вычисляется по формуле:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]
где V - объем, \(\pi\) - число пи (приближенно равно 3,14), r - радиус.

Если радиус увеличивается в 2 раза, то новый радиус будет \(r_1 = 2r\).

Подставим новые значения в формулу объема и найдем новый объем:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3\]
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi 8r^3\]
\[V_1 = \frac{32}{3} \pi r^3\]

Таким образом, объем шара увеличится в 32/3 раза.

5. Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Известно, что два ребра, исходящие из одной вершины, равны 2 м и 3 м. По теореме Пифагора, диагональ \(d\) может быть найдена по формуле:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
где a, b, c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, a = 2 м, b = 3 м, c - гипотенуза. Поэтому:
\[d = \sqrt{2^2 + 3^2 + h^2}\]

Также нам известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен 36 м³. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти высоту параллелепипеда через объем.
\[V = S \cdot h\]
где V - объем, S - площадь основания, h - высота.

Площадь основания равна произведению двух сторон, исходящих из одной вершины, то есть \(S = 2 \cdot 3 = 6\) м².

Теперь мы можем найти высоту:
\[36 = 6 \cdot h\]
\[h = \frac{36}{6} = 6\] м

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для диагонали и найти ее:
\[d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}\]
\[d = \sqrt{4 + 9 + 36}\]
\[d = \sqrt{49}\]
\[d = 7\] м

Таким образом, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 7 м.

6. Чтобы найти объем конуса, нам понадобятся его параметры - радиус основания и высота. Формула объема конуса выглядит следующим образом:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
где V - объем, \(\pi\) - число пи (приближенно равно 3,14), r - радиус основания, h - высота.

Так как в задаче не указаны конкретные значения радиуса и высоты, я не могу точно найти объем конуса. Если вы укажете конкретные значения, я смогу помочь вам с расчетами.

Вся информация, предоставленная в задачах, приведена с подробными пояснениями или шагами решения для удобства понимания школьником. Я всегда готов помочь.