1. Найдите третью сторону треугольника, если две известные стороны равны 6 см и 8 см, а угол между ними составляет

1. Чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем использовать закон косинусов. Формула для нахождения третьей стороны c в треугольнике с известными сторонами a и b, и углом между ними C, выглядит следующим образом:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)} \]

В данной задаче, a = 6 см, b = 8 см и C = 60°. Подставим значения в формулу:

\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°)} \]
\[ c = \sqrt{36 + 64 - 96 \cdot 0.5} \]
\[ c = \sqrt{36 + 64 - 48} \]
\[ c = \sqrt{52} \]
\[ c \approx 7.211 \, см \]

Третья сторона треугольника равна примерно 7,211 см.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где p - полупериметр треугольника. Полупериметр можно найти, сложив все стороны и разделив полученную сумму на 2:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
\[ p = \frac{6 + 8 + 7.211}{2} \]
\[ p = \frac{21.211}{2} \]
\[ p = 10.6055 \, см \]

Теперь, подставим значения в формулу Герона:

\[ S = \sqrt{10.6055 \cdot (10.6055 - 6) \cdot (10.6055 - 8) \cdot (10.6055 - 7.211)} \]
\[ S = \sqrt{10.6055 \cdot 4.6055 \cdot 2.6055 \cdot 3.3945} \]
\[ S \approx \sqrt{219.359} \]
\[ S \approx 14.801 \, см^2 \]

Таким образом, площадь треугольника примерно равна 14,801 квадратным сантиметрам.

2. Чтобы найти сторону BC треугольника ABC, мы можем использовать закон синусов. Формула для нахождения стороны c в треугольнике с известными сторонами a и b, и углом между ними C, выглядит следующим образом:

\[ \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c} \]

В данной задаче, AB = 3 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Мы хотим найти сторону BC. Подставим значения в формулу:

\[ \frac{\sin(120°)}{3} = \frac{\sin(B)}{BC} \]

Угол B можно найти, вычтя сумму углов A и C из 180°:

\[ B = 180° - 120° - 45° \]
\[ B = 15° \]

Теперь, мы можем решить уравнение:

\[ \frac{\sin(120°)}{3} = \frac{\sin(15°)}{BC} \]
\[ BC = \frac{3 \cdot \sin(15°)}{\sin(120°)} \]
\[ BC \approx \frac{3 \cdot 0.2588}{0.8660} \]
\[ BC \approx \frac{0.7764}{0.8660} \]
\[ BC \approx 0.8962 \, см \]

Таким образом, сторона BC треугольника ABC примерно равна 0.8962 см.

3. Чтобы определить тип треугольника со сторонами 7 см, 10 см и 13 см, мы можем использовать теорему Пифагора. Если сумма квадратов двух меньших сторон треугольника равна квадрату самой большой стороны, то треугольник является прямоугольным. Если сумма квадратов двух меньших сторон меньше квадрата самой большой стороны, то треугольник остроугольный. Если сумма квадратов двух меньших сторон больше квадрата самой большой стороны, то треугольник тупоугольный.

В данной задаче, a = 7 см, b = 10 см и c = 13 см. Проверим условие теоремы Пифагора:

\[ 7^2 + 10^2 = 13^2 \]
\[ 49 + 100 = 169 \]

Сумма квадратов двух меньших сторон (7^2 + 10^2) равна квадрату самой большой стороны (13^2). Таким образом, данный треугольник является прямоугольным.

4. Чтобы найти периметр треугольника, мы можем сложить все его стороны:

\[ P = a + b + c \]

В данной задаче, одна из сторон треугольника больше другой на 8 см, а угол между ними равен 120°. Мы знаем, что третья сторона равна 28 см. Подставим значения в формулу:

\[ P = a + (a + 8) + 28 \]
\[ P = 2a + 36 \]

Мы должны найти значение переменной a. Для этого мы можем использовать закон синусов. Известно, что

\[ \frac{\sin(120°)}{28} = \frac{\sin(B)}{a + 8} \]

Угол B можно найти, вычтя 120° из суммы углов треугольника (180°):

\[ B = 180° - 120° \]
\[ B = 60° \]

Теперь, мы можем решить уравнение:

\[ \frac{\sin(120°)}{28} = \frac{\sin(60°)}{a + 8} \]
\[ (a + 8) \cdot \sin(120°) = 28 \cdot \sin(60°) \]
\[ a + 8 = \frac{28 \cdot \sin(60°)}{\sin(120°)} \]
\[ a + 8 = \frac{28 \cdot 0.8660}{0.8660} \]
\[ a + 8 = 28 \]
\[ a = 20 \]

Таким образом, одна из сторон треугольника равна 20 см. Подставим это значение в формулу для периметра:

\[ P = 2 \cdot 20 + 36 \]
\[ P = 40 + 36 \]
\[ P = 76 \]

Таким образом, периметр треугольника равен 76 см.

5. Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где a, b и c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

В данной задаче, нам изначально не даны стороны треугольника ABC, поэтому мы не можем решить задачу полностью без дополнительной информации о треугольнике. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я смогу помочь вам решить задачу.