1. Найдите скалярное произведение векторов CB1 и CД1 в данном кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром (корень из 2). 2. а) Найдите

1. Скалярное произведение векторов CB1 и CД1 можно найти как сумму произведений соответствующих координат векторов. В данном случае, координаты векторов CB1 и CД1 равны:
CB1 = (0, 1, -1)
CД1 = (1, 0, -1)

Перемножим соответствующие координаты векторов и найдем их сумму:
Скалярное произведение CB1 и CД1 = 0*1 + 1*0 + (-1)*(-1) = 0 + 0 + 1 = 1

Таким образом, скалярное произведение векторов CB1 и CД1 равно 1.

2. а) Для нахождения скалярного произведения векторов (а+ b)(a-b) нужно раскрыть скобки и перемножить соответствующие координаты векторов. Дано:
а = (-1, 3, 2)
b = (2, -1, 1)

(а+ b) = (-1+2, 3+(-1), 2+1) = (1, 2, 3)
(а- b) = (-1-2, 3-(-1), 2-1) = (-3, 4, 1)

Теперь найдем скалярное произведение (1, 2, 3) и (-3, 4, 1):
Скалярное произведение (а+ b)(a-b) = 1*(-3) + 2*4 + 3*1 = -3 + 8 + 3 = 8

Ответ: Скалярное произведение (а+ b)(a-b) равно 8.

б) Косинус угла между векторами а и b можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (а * b) / (|а| * |b|)

где (а * b) - скалярное произведение векторов а и b, |а| и |b| - длины векторов а и b.

Первым шагом найдем значения (а * b), |а| и |b|:
(а * b) = (-1*2) + (3*(-1)) + (2*1) = -2 - 3 + 2 = -3
|а| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + 2^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14)
|b| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1 + 1) = sqrt(6)

Теперь можем найти косинус угла между векторами а и b:
cos(θ) = (-3) / (sqrt(14) * sqrt(6)) = -3 / sqrt(84) ≈ -0.346

Ответ: Косинус угла между векторами а и b примерно равен -0.346.

3. Для доказательства перпендикулярности векторов АВ и BС в треугольнике АВС, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Дано:
A (4, -3, 2)
B (1, 2, 2)
C (6, 5, 4)

Вектор AB = B - A = (1-4, 2-(-3), 2-2) = (-3, 5, 0)
Вектор BC = C - B = (6-1, 5-2, 4-2) = (5, 3, 2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и BC:
Скалярное произведение AB и BC = (-3*5) + (5*3) + (0*2) = -15 + 15 + 0 = 0

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и BC равно нулю, что означает, что они перпендикулярны.

Ответ: Векторы АВ и ВС перпендикулярны в треугольнике АВС.

4. а) Чтобы найти координаты центра сферы и радиус, нужно привести уравнение сферы к каноническому виду (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус.

Дано:
Уравнение сферы: (x - 2)^2 + (у + 5)^2 + z^2 = 9

Раскроем квадраты и приведем уравнение к каноническому виду:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 + z^2 = 9
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 10y + 20 = 0

Сравнивая с каноническим видом, получаем:
(a, b, c) = (2, -5, 0)
r^2 = 20

Значит, центр сферы имеет координаты (2, -5, 0), а радиус равен sqrt(20) = 2sqrt(5).

Ответ: Координаты центра сферы - (2, -5, 0), радиус - 2sqrt(5).

б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка А (4, -3, -1) этой сфере, подставим ее координаты в уравнение сферы и проверим равенство:
(4 - 2)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1)^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9

Таким образом, точка А (4, -3, -1) принадлежит заданной сфере.

Ответ: Точка А (4, -3, -1) принадлежит сфере с уравнением (x - 2)^2 + (у + 5)^2 + z^2 = 9.

5. Для составления? Требуется продолжение вопроса.