1) Найдите расстояние от середины основания до образующей конической поверхности в конусе, который образуется вращением

Решение:
1) Чтобы найти расстояние от середины основания до образующей конической поверхности, мы можем воспользоваться свойствами подобных треугольников.

Первым шагом нужно найти высоту \(h\) конуса, который образуется вращением прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 вокруг большего катета. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы и потом применить формулу для высоты прямоугольного треугольника.

Гипотенуза \(c\) прямоугольного треугольника равна:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[c = \sqrt{6^2 + 8^2}\]
\[c = 10\]

Теперь находим высоту треугольника:
\[h = \frac{ab}{c}\]
\[h = \frac{6 \cdot 8}{10}\]
\[h = \frac{48}{10}\]
\[h = 4.8\]

Середина основания прямоугольного треугольника совпадает с координатой \(\frac{a}{2}\), где \(a\) - катет треугольника, в окружности, образующей коническую поверхность. В данном случае это \(\frac{6}{2} = 3\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти расстояние от середины основания до образующей конической поверхности, которая равна радиусу окружности:
\[r = \sqrt{c^2 - h^2}\]
\[r = \sqrt{10^2 - 4.8^2}\]
\[r = \sqrt{100 - 23.04}\]
\[r = \sqrt{76.96}\]
\[r \approx 8.77\]

Ответ: Расстояние от середины основания до образующей конической поверхности составляет примерно 8.77 единицы длины.

2) Чтобы найти площадь сечения, параллельного основанию конуса и удаленного от вершины на расстояние 2, мы можем использовать формулу для площади круга.

Площадь круга, сечение которого параллельно основанию и удалено от вершины на расстояние 2 равна:
\[S = \pi r^2\]
\[S = \pi (r - 2)^2\]
\[S = \pi (8.77 - 2)^2\]
\[S = \pi (6.77)^2\]
\[S \approx 144.33\]

Ответ: Площадь сечения, параллельного основанию конуса и удаленного от вершины на расстояние 2, составляет примерно 144.33 квадратных единиц.

3) Чтобы найти площадь сечения конуса, которое проходит через границу основания, нам понадобится знать радиус основания. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора и формулу для площади круга.

Сначала мы найдем радиус основания. Радиус основания равен половине основания прямоугольного треугольника, который создает конус при своем вращении вокруг большего катета. В данном случае это \(\frac{8}{2} = 4\).

Затем мы можем применить формулу для площади круга, чтобы найти площадь сечения конуса:
\[S = \pi r^2\]
\[S = \pi (4^2)\]
\[S = \pi (16)\]
\[S \approx 50.27\]

Ответ: Площадь сечения конуса, которое проходит через границу основания, составляет примерно 50.27 квадратных единиц.