1. Найдите расстояние между следующими объектами в единичном кубе ABCDA1 B1C1D1: а) прямой AA1 и плоскостью ВСС1

Хорошо, давайте решим поставленную задачу.

а) Найдем расстояние между прямой AA1 и плоскостью ВСС1 в единичном кубе.

Для начала, давайте определим уравнение прямой AA1. Прямая AA1 проходит через две точки: A(1, 0, 0) и A1(1, 1, 1). Значит, уравнение прямой AA1 может быть записано в виде:

\(x = 1, \quad y = 0 + t(1 - 0), \quad z = 0 + t(1 - 0)\),

где t - параметр, который изменяется от 0 до 1.

Далее, найдем уравнение плоскости ВСС1. Плоскость ВСС1 проходит через три точки: B(0, 1, 0), C(1, 1, 0) и C1(1, 1, 1). Уравнение плоскости можно записать в виде:

\(Ax + By + Cz + D = 0\),

где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Заменив координаты точек B, C и C1 в уравнение плоскости, получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
0A + 1B + 0C + D = 0 \\
1A + 1B + 0C + D = 0 \\
1A + 1B + 1C + D = 0
\end{cases}
\]

Решая данную систему уравнений, получим, что A = 1, B = -2, C = 1 и D = 1.

Теперь, чтобы найти расстояние между прямой AA1 и плоскостью ВСС1, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\],

где (x0, y0, z0) - координаты произвольной точки на прямой AA1.

Возьмем, например, точку A(1, 0, 0) и подставим ее координаты в формулу:

\[d = \frac{|1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 1\cdot0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}\].

Вычисляя данное выражение, получаем:

\[d = \frac{2}{\sqrt{6}}\].

Итак, расстояние между прямой AA1 и плоскостью ВСС1 в единичном кубе равно \(\frac{2}{\sqrt{6}}\).

б) Перейдем к следующей части задачи: нахождению расстояния между прямой AB1 и плоскостью CDD1 в единичном кубе.

Аналогично предыдущей части, найдем уравнение прямой AB1. Прямая AB1 проходит через две точки: A(1, 0, 0) и B1(0, 1, 1). Значит, уравнение прямой AB1 может быть записано в виде:

\(x = 1 - t(1 - 0), \quad y = 0 + t(1 - 0), \quad z = 0 + t(1 - 0)\),

где t - параметр, который изменяется от 0 до 1.

Далее, найдем уравнение плоскости CDD1. Плоскость CDD1 проходит через три точки: C(1, 1, 0), D(1, 0, 0) и D1(0, 0, 1). Уравнение плоскости можно записать в виде:

\(Ax + By + Cz + D = 0\),

где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Заменив координаты точек C, D и D1 в уравнение плоскости, получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
1A + 1B + 0C + D = 0 \\
1A + 0B + 0C + D = 0 \\
0A + 0B + 1C + D = 0
\end{cases}
\]

Решая данную систему уравнений, получим, что A = 1, B = -1, C = 0 и D = 0.

Теперь, чтобы найти расстояние между прямой AB1 и плоскостью CDD1, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\],

где (x0, y0, z0) - координаты произвольной точки на прямой AB1.

Возьмем, например, точку A(1, 0, 0) и подставим ее координаты в формулу:

\[d = \frac{|1\cdot(1 - t(1 - 0)) + (-1)\cdot(0 + t(1 - 0)) + 0\cdot(0 + t(1 - 0)) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}}\].

Вычисляя данное выражение, получаем:

\[d = \frac{\sqrt{2}}{2}\].

Итак, расстояние между прямой AB1 и плоскостью CDD1 в единичном кубе равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Надеюсь, данное подробное решение поможет вам понять задачу и способ ее решения. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.