1. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2 и знаменатель равен -3. 2. Найдите седьмой

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Найдем пятый член геометрической прогрессии с первым членом равным 2 и знаменателем равным -3.
Для этого мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

В нашем случае, первый член \(a_1 = 2\) и знаменатель \(r = -3\). Мы хотим найти пятый член, поэтому \(n = 5\).
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[a_5 = 2 \cdot (-3)^{(5-1)}\]

Давайте вычислим это:
\[a_5 = 2 \cdot (-3)^4 = 2 \cdot 81 = 162\]

Таким образом, пятый член геометрической прогрессии равен 162.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу. Нам даны шестой и четвертый члены геометрической прогрессии. Нужно найти седьмой член.
Мы знаем, что \(a_6 = 4\) и \(a_4 = 9\).

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии.
Если расписать уравнения для шестого и четвертого членов, то мы получим систему уравнений:
\[a_4 = a_1 \cdot r^3\]
\[a_6 = a_1 \cdot r^5\]

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений \(a_1\) и \(r\).
Из второго уравнения можно выразить \(a_1\) через \(a_6\) и \(r\):
\[a_1 = \frac{a_6}{r^5}\]
Подставив это значение в первое уравнение, получим:
\[\frac{a_6}{r^5} \cdot r^3 = 9\]
\[a_6 \cdot r^{-2} = 9\]
\[a_6 = 9 \cdot r^2\]

Теперь мы знаем, что \(a_6 = 4\), поэтому:
\[4 = 9 \cdot r^2\]

Решим это уравнение, чтобы найти значение \(r\).
\[r^2 = \frac{4}{9}\]
\[r = \sqrt{\frac{4}{9}}\]
\[r = \frac{2}{3}\]

Мы нашли значение \(r\), теперь нужно найти седьмой член прогрессии.
Для этого мы можем использовать формулу:
\[a_7 = a_1 \cdot r^{(7-1)}\]

Подставляем значения и находим:
\[a_7 = \frac{a_6}{r^5} \cdot r^{(7-1)}\]
\[a_7 = 4 \cdot (\frac{2}{3})^{6}\]
\[a_7 = 4 \cdot \frac{64}{729}\]
\[a_7 = \frac{256}{729}\]

Итак, седьмой член геометрической прогрессии равен \(\frac{256}{729}\).

3. Перейдем к третьей задаче. Нам дано отношение суммы пятого и шестого членов к сумме третьего и четвертого членов геометрической прогрессии. Нужно найти знаменатель этой прогрессии.

Обозначим члены прогрессии следующим образом:
\[a_3, a_4, a_5, a_6\]

По условию задачи, мы знаем, что:
\[\frac{a_5 + a_6}{a_3 + a_4} = 4\]

Используя формулу для общего члена прогрессии \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), можем выразить \(a_5, a_6, a_3\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(r\):
\[a_5 = a_1 \cdot r^4\]
\[a_6 = a_1 \cdot r^5\]
\[a_3 = a_1 \cdot r^2\]
\[a_4 = a_1 \cdot r^3\]

Теперь подставим эти значения в наше уравнение и решим его:
\[\frac{a_1 \cdot r^4 + a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2 + a_1 \cdot r^3} = 4\]
\[\frac{r^4 + r^5}{r^2 + r^3} = 4\]

Упростим эту дробь:
\[\frac{r^4(1 + r)}{r^2(1 + r)} = 4\]
\[\frac{r^4}{r^2} = 4\]
\[r^2 = 4\]
\[r = \sqrt{4}\]
\[r = 2\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен 2.

4. В последней задаче нам нужно найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом равным 27 и знаменателем \(r\).

Мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]

Для нашей задачи, \(a_1 = 27\) и мы хотим найти сумму первых семи членов, поэтому \(n = 7\).

Подставляем значения в формулу:
\[S_7 = \frac{27 \cdot (1 - r^7)}{1 - r}\]

Теперь нам нужно найти значение \(r\), чтобы вычислить сумму. Мы уже знаем, что \(r = 2\), поэтому:
\[S_7 = \frac{27 \cdot (1 - 2^7)}{1 - 2}\]
\[S_7 = \frac{27 \cdot (1 - 128)}{-1}\]
\[S_7 = \frac{27 \cdot (-127)}{-1}\]
\[S_7 = -27 \cdot 127\]
\[S_7 = -3429\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна -3429.