1) Найдите площадь треугольника, который имеет описанную окружность, где одна сторона проходит через центр окружности

6 см.
Для решения первой задачи, давайте воспользуемся свойством треугольника, имеющего описанную окружность. Мы знаем, что сторона треугольника, проходящая через центр окружности (он называется радиусом окружности) и равна радиусу. Пусть радиус окружности равен \( r \) см.
Также у нас есть две стороны треугольника, которые находятся на расстоянии 6 и 4√3 см от центра окружности. Пусть эти две стороны обозначены как \( a \) и \( b \) см соответственно.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения третьей стороны треугольника.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике, где две стороны составляют катеты, а третья сторона - гипотенуза, справедливо соотношение: \[ c^2 = a^2 + b^2, \] где \( c \) - третья сторона треугольника.

В нашем случае, одна из сторон равна радиусу окружности, то есть \( a = r \), а вторая сторона равна 6 см, то есть \( b = 6 \) см.

Подставляя значения в формулу, получаем: \[ c^2 = r^2 + 6^2. \]

Теперь нам нужно выразить радиус окружности через \( c \). Но у нас есть дополнительная информация: описанная окружность - это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Зная это, мы можем сказать, что \( c \) - это диаметр окружности.

Помним, что радиус окружности равен половине диаметра. Таким образом, \( r = \frac{c}{2} \).

Подставляя это в наше уравнение, получаем: \[ c^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + 6^2. \]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ c^2 = \frac{c^2}{4} + 36. \]

Чтобы избавиться от дроби в уравнении, умножим обе части на 4: \[ 4c^2 = c^2 + 144. \]

Теперь сгруппируем все слагаемые с \( c^2 \) в одну часть: \[ 4c^2 - c^2 = 144. \]

Потому что у нас есть только два слагаемых с \( c^2 \), они просто складываются: \[ 3c^2 = 144. \]

Делим обе части на 3: \[ c^2 = \frac{144}{3} = 48. \]

Чтобы найти \( c \), возьмем квадратный корень из обоих частей уравнения: \[ c = \sqrt{48}. \]

Так как мы хотим максимально упростить наше решение и облегчить понимание для школьника, давайте разложим корень из 48 на простые множители: \[ c = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}. \]

Таким образом, третья сторона треугольника \( c \) равна 4√3 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу для площади треугольника, когда известны стороны треугольника и радиус вписанной окружности:
\[ S = \frac{abc}{4R}, \]
где \( a \), \( b \), \( c \) - стороны треугольника, \( R \) - радиус описанной окружности.

В нашем случае, \( a = b = 6 \) см и \( c = 4\sqrt{3} \) см, а радиус окружности \( R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ S = \frac{6 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{36}{4} = 9 \, \text{кв. см}. \]

Таким образом, площадь треугольника равна 9 квадратных сантиметров.