1. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 38, а радиус вписанной окружности равен 5. 2. Найдите периметр

Для решения задачи нам понадобится знание формулы Герона для нахождения площади треугольника, а также формулы радиуса вписанной окружности. Давайте решим задачу по очереди.

1. Найдем площадь треугольника. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(p\) - полупериметр, то есть половина суммы длин всех сторон треугольника. Формула Герона для площади треугольника выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

В данной задаче нам дан периметр треугольника, равный 38. Периметр равен сумме длин всех сторон, поэтому получаем уравнение:

\(a + b + c = 38\)

Также нам дан радиус вписанной окружности, равный 5. Радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и полупериметр следующим образом:

\[r = \frac{S}{p}\]

Подставим известные значения и найдем площадь:

\[r = \frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p}\]

2. Известно, что радиус вписанной окружности равен 5 и площадь равна 145. По формуле радиуса вписанной окружности получаем:

\[5 = \frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p}\]

Также заметим, что площадь треугольника можно выразить через его стороны и полупериметр по формуле Герона:

\[145 = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Итак, получили систему уравнений:

\[\begin{cases} 5 = \frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p} \\ 145 = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{cases}\]

3. В задаче дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 17 и основанием \(c\), где \(c\) - это основание равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны, поэтому у нас есть равенство:

\(a = b\)

В данном случае \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника. Мы можем записать уравнение, используя известные значения:

\[17 + 17 + c = 38\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить:

\[\begin{cases} a + b + c = 38 \\ a = b \\ 17 + 17 + c = 38 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему поочередно, начиная с первой задачи.