1. Найдите площадь и большую диагональ параллелограмма, у которого угол равен 110 градусам, а стороны равны 17 см

Школьник, давай решать эти задачи по порядку.

1. Параллелограмм имеет две основные характеристики: площадь и диагональ. Для нахождения площади параллелограмма, мы можем воспользоваться формулой "площадь = сторона * высота". По заданным условиям, одна сторона равна 17 см, а высота параллелограмма - это перпендикуляр, опущенный на эту сторону.

Давай найдем высоту параллелограмма. Мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном стороной параллелограмма, его высотой и половиной большой диагонали.

\[\text{высота} = \sqrt{(17 \,см)^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}\,см}{2}\right)^2}.\]

Опустим высоту из одного из вершин параллелограмма и обозначим ее через \(h\). По теореме о прямоугольнике, большая диагональ равна двум высотам, причем одна высота является основанием параллелограмма.

\[\text{большая диагональ} = 2h.\]

Теперь, когда у нас есть эти значения, мы можем вычислить их:

\[\text{площадь} = \text{сторона} \times \text{высота},\]

\[\text{большая диагональ} = 2 \times \text{высота}.\]

2. Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы синуса и косинуса. Зная два угла треугольника и длину одной его стороны, мы можем найти длины остальных сторон. Ответы пошагового решения позволят описывать данные школьнику и обосновывать применение формул:

\[\text{для угла А:}\\
\text{сторона ВС} = \frac{5}{\sin(75^\circ)},\\
\text{сторона ВС} = \frac{5}{\cos(75^\circ)}.\]

Также, используя формулу синуса, мы можем найти радиус описанной около треугольника окружности:

\[\text{радиус\,описанной окружности} = \frac{\text{сторона АВ}}{2 \sin(45^\circ)}.\]

Обратите внимание, что в данной задаче мы использовали известные значения углов треугольника и формулы для нахождения сторон и радиуса описанной окружности.

3. Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу Герона. Формула Герона позволяет нам найти площадь треугольника, зная длины его сторон. Поэтому, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[\text{площадь} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины его сторон.

Также нам понадобятся формулы синуса и косинуса, чтобы найти значения углов в треугольнике:

\[\text{для угла А:}\\
\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\\
A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right).\]

Аналогично, мы можем найти значения углов B и C.

4. В этой задаче нам нужно найти сторону АС и радиус описанной около треугольника окружности. Мы можем использовать формулу синуса для нахождения длины стороны АС:

\[\text{сторона АС} = \frac{\text{сторона ВС}}{\sin(A)}.\]

Также, для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности, мы можем использовать следующую формулу:

\[\text{радиус\,описанной окружности} = \frac{\text{сторона ВС}}{2 \sin(B)},\]

где \(A\) и \(B\) - углы треугольника, а \(\text{сторона ВС}\) - известное значение.