1. Найдите площадь боковой поверхности четырехугольной призмы с правильными гранями. Ребро основания равно 4

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о площади боковой поверхности четырехугольной призмы с правильными гранями и о нахождении диагонали основания призмы.

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы, мы можем разбить ее на два треугольника и два прямоугольника, а затем сложить площади этих фигур.

Первым шагом найдем площадь прямоугольника, который является боковой стороной призмы. Длина этого прямоугольника равна высоте призмы, поэтому его площадь равна произведению длины и ширины. В данном случае ширина будет равна 4 см (ребро основания).

\[\text{Площадь прямоугольника} = \text{Длина} \times \text{Ширина} = 5 \, см \times 4 \, см = 20 \, см^2.\]

Затем найдем площадь треугольника, который является одной из боковых граней призмы. Площадь треугольника можно найти по формуле: \(\frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\).

В данном случае, основание треугольника равно 4 см (ребро основания) и высота равна 5 см (боковая сторона призмы).

\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота} = \frac{1}{2} \times 4 \, см \times 5 \, см = 10 \, см^2.\]

Таким образом, общая площадь боковой поверхности четырехугольной призмы будет равна сумме площадей прямоугольника и двух треугольников:

\[\text{Площадь боковой поверхности} = \text{Площадь прямоугольника} + 2 \times \text{Площадь треугольника} = 20 \, см^2 + 2 \times 10 \, см^2 = 40 \, см^2.\]

Ответ: \(\text{Г) 40 кв.см.}\)

2. Чтобы найти диагональ основания призмы с правильными четырехугольными гранями, образующую угол \(\alpha\) с плоскостью основания, мы можем использовать теорему косинусов.

Согласно теореме косинусов, диагональ основания можно выразить через стороны и угол между ними:

\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha),\]

где \(a\) и \(b\) - стороны основания призмы.

Отсюда можно найти диагональ основания:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}.\]

Ответ: \(\text{Б) d ctg α}\), где \(d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам разобраться с задачами. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!