1. Найдите первые пять членов арифметической прогрессии, где a1 = -5; d = 0, 5, 10, 15 2. Найдите первые шесть членов

1. Для нахождения первых пяти членов арифметической прогрессии с заданными значениями \(a_1\) и \(d\) будем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Для первого случая, где \(a_1 = -5\) и \(d = 0\), последовательность будет выглядеть следующим образом:
\[a_1 = -5\]
\[a_2 = -5 + (2 - 1) \cdot 0 = -5\]
\[a_3 = -5 + (3 - 1) \cdot 0 = -5\]
\[a_4 = -5 + (4 - 1) \cdot 0 = -5\]
\[a_5 = -5 + (5 - 1) \cdot 0 = -5\]

Для второго случая, где \(a_1 = -5\) и \(d = 5\), последовательность будет выглядеть следующим образом:
\[a_1 = -5\]
\[a_2 = -5 + (2 - 1) \cdot 5 = 0\]
\[a_3 = -5 + (3 - 1) \cdot 5 = 5\]
\[a_4 = -5 + (4 - 1) \cdot 5 = 10\]
\[a_5 = -5 + (5 - 1) \cdot 5 = 15\]

Для третьего случая, где \(a_1 = -5\) и \(d = 10\), последовательность будет выглядеть следующим образом:
\[a_1 = -5\]
\[a_2 = -5 + (2 - 1) \cdot 10 = 5\]
\[a_3 = -5 + (3 - 1) \cdot 10 = 15\]
\[a_4 = -5 + (4 - 1) \cdot 10 = 25\]
\[a_5 = -5 + (5 - 1) \cdot 10 = 35\]

Для четвертого случая, где \(a_1 = -5\) и \(d = 15\), последовательность будет выглядеть следующим образом:
\[a_1 = -5\]
\[a_2 = -5 + (2 - 1) \cdot 15 = 10\]
\[a_3 = -5 + (3 - 1) \cdot 15 = 25\]
\[a_4 = -5 + (4 - 1) \cdot 15 = 40\]
\[a_5 = -5 + (5 - 1) \cdot 15 = 55\]

2. Для нахождения первых шести членов арифметической прогрессии с \(a_1 = 5\) и \(d = -3\) также используем формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

С учетом заданных значений получим следующую последовательность:
\[a_1 = 5\]
\[a_2 = 5 + (2 - 1) \cdot (-3) = 2\]
\[a_3 = 5 + (3 - 1) \cdot (-3) = -1\]
\[a_4 = 5 + (4 - 1) \cdot (-3) = -4\]
\[a_5 = 5 + (5 - 1) \cdot (-3) = -7\]
\[a_6 = 5 + (6 - 1) \cdot (-3) = -10\]

3. Для нахождения разности арифметической прогрессии, где \(a_{10} = 16\) и \(a_{18} = 24\), можно использовать формулу разности арифметической прогрессии:

\[d = \frac{a_{18} - a_{10}}{18 - 10}\]

Подставляя заданные значения, получим:
\[d = \frac{24 - 16}{18 - 10} = \frac{8}{8} = 1\]

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 1.

4. Для вычисления суммы первых девяти членов арифметической прогрессии с \(a_1 = 15\) и \(d = -4\) воспользуемся формулой для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Подставляя заданные значения, получим:
\[S_9 = \frac{9}{2}(2 \cdot 15 + (9-1) \cdot (-4))\]
\[S_9 = \frac{9}{2}(30 + 8 \cdot (-4))\]
\[S_9 = \frac{9}{2}(30 - 32)\]
\[S_9 = \frac{9}{2} \cdot (-2) = -9\]

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна -9.

5. Для нахождения двадцать пятого члена арифметической прогрессии с первым членом 3 и шагом 3 воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения, получим:
\[a_{25} = 3 + (25 - 1) \cdot 3 = 3 + 24 \cdot 3 = 3 + 72 = 75\]

Таким образом, двадцать пятый член арифметической прогрессии равен 75.

6. Для нахождения первого положительного члена арифметической прогрессии, заданной формулой \(c_n = 13n - 67\), нужно найти то значение \(n\), при котором \(c_n\) будет положительным.

\[c_n > 0\]
\[13n - 67 > 0\]
\[13n > 67\]
\[n > \frac{67}{13}\]

Первый положительный член будет найден при наименьшем целочисленном значении \(n\), удовлетворяющем данному неравенству:
\[n = 6\]
\[a_{n} = 13 \cdot 6 - 67 = 78 - 67 = 11\]

Таким образом, первый положительный член прогрессии равен 11.

7. Для арифметической прогрессии \({a_n}\) с \(a_{14} = 4.7\) и \(d = 0.8\) мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Заменяя известные значения, мы можем найти \(a_1\) и \(a_{19}\):

\[a_14 = a_1 + (14 - 1) \cdot 0.8 = a_1 + 13 \cdot 0.8 = 4.7\]
\[a_1 + 10.4 = 4.7\]
\[a_1 = 4.7 - 10.4 = -5.7\]

Таким образом, \(a_1 = -5.7\) и мы можем также найти \(a_{19}\):

\[a_{19} = a_1 + (19 - 1) \cdot 0.8 = a_1 + 18 \cdot 0.8 = -5.7 + 14.4 = 8.7\]

Таким образом, \(a_{19} = 8.7\).

8. Для нахождения двадцать первого члена арифметической прогрессии с заданными \(a_1\) и \(d\), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения, получим:
\[a_{21} = a_1 + (21 - 1) \cdot d\]

Однако, недостаточно информации для определения двадцать первого члена, так как не задано значение \(a_1\) или \(d\). Пожалуйста, предоставьте необходимые значения для продолжения решения этой задачи.