1. Найдите первые пять членов арифметической прогрессии, где a1 = -5; d = 0, 5, 10, 15 2. Найдите первые шесть членов

1. Для нахождения первых пяти членов арифметической прогрессии с заданными значениями $a_1$ и $d$ будем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Для первого случая, где $a_1=-5$ и $d=0$, последовательность будет выглядеть следующим образом:
$$a_1=-5$$
$$a_2=-5+(2-1)\cdot 0=-5$$
$$a_3=-5+(3-1)\cdot 0=-5$$
$$a_4=-5+(4-1)\cdot 0=-5$$
$$a_5=-5+(5-1)\cdot 0=-5$$

Для второго случая, где $a_1=-5$ и $d=5$, последовательность будет выглядеть следующим образом:
$$a_1=-5$$
$$a_2=-5+(2-1)\cdot 5=0$$
$$a_3=-5+(3-1)\cdot 5=5$$
$$a_4=-5+(4-1)\cdot 5=10$$
$$a_5=-5+(5-1)\cdot 5=15$$

Для третьего случая, где $a_1=-5$ и $d=10$, последовательность будет выглядеть следующим образом:
$$a_1=-5$$
$$a_2=-5+(2-1)\cdot 10=5$$
$$a_3=-5+(3-1)\cdot 10=15$$
$$a_4=-5+(4-1)\cdot 10=25$$
$$a_5=-5+(5-1)\cdot 10=35$$

Для четвертого случая, где $a_1=-5$ и $d=15$, последовательность будет выглядеть следующим образом:
$$a_1=-5$$
$$a_2=-5+(2-1)\cdot 15=10$$
$$a_3=-5+(3-1)\cdot 15=25$$
$$a_4=-5+(4-1)\cdot 15=40$$
$$a_5=-5+(5-1)\cdot 15=55$$

2. Для нахождения первых шести членов арифметической прогрессии с $a_1=5$ и $d=-3$ также используем формулу общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

С учетом заданных значений получим следующую последовательность:
$$a_1=5$$
$$a_2=5+(2-1)\cdot (-3)=2$$
$$a_3=5+(3-1)\cdot (-3)=-1$$
$$a_4=5+(4-1)\cdot (-3)=-4$$
$$a_5=5+(5-1)\cdot (-3)=-7$$
$$a_6=5+(6-1)\cdot (-3)=-10$$

3. Для нахождения разности арифметической прогрессии, где $a_{10}=16$ и $a_{18}=24$, можно использовать формулу разности арифметической прогрессии:

$$d=\frac{a_{18}-a_{10}}{18-10}$$

Подставляя заданные значения, получим:
$$d=\frac{24-16}{18-10}=\frac{8}{8}=1$$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 1.

4. Для вычисления суммы первых девяти членов арифметической прогрессии с $a_1=15$ и $d=-4$ воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$

Подставляя заданные значения, получим:
$$S_9=\frac{9}{2}(2\cdot 15+(9-1)\cdot (-4))$$
$$S_9=\frac{9}{2}(30+8\cdot (-4))$$
$$S_9=\frac{9}{2}(30-32)$$
$$S_9=\frac{9}{2}\cdot (-2)=-9$$

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна -9.

5. Для нахождения двадцать пятого члена арифметической прогрессии с первым членом 3 и шагом 3 воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляя значения, получим:
$$a_{25}=3+(25-1)\cdot 3=3+24\cdot 3=3+72=75$$

Таким образом, двадцать пятый член арифметической прогрессии равен 75.

6. Для нахождения первого положительного члена арифметической прогрессии, заданной формулой $c_n=13n-67$, нужно найти то значение $n$, при котором $c_n$ будет положительным.

$$c_n>0$$
$$13n-67>0$$
$$13n>67$$
$$n>\frac{67}{13}$$

Первый положительный член будет найден при наименьшем целочисленном значении $n$, удовлетворяющем данному неравенству:
$$n=6$$
$$a_n=13\cdot 6-67=78-67=11$$

Таким образом, первый положительный член прогрессии равен 11.

7. Для арифметической прогрессии $a_n$ с $a_{14}=4.7$ и $d=0.8$ мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Заменяя известные значения, мы можем найти $a_1$ и $a_{19}$:

$$a_{1}4=a_1+(14-1)\cdot 0.8=a_1+13\cdot 0.8=4.7$$
$$a_1+10.4=4.7$$
$$a_1=4.7-10.4=-5.7$$

Таким образом, $a_1=-5.7$ и мы можем также найти $a_{19}$:

$$a_{19}=a_1+(19-1)\cdot 0.8=a_1+18\cdot 0.8=-5.7+14.4=8.7$$

Таким образом, $a_{19}=8.7$.

8. Для нахождения двадцать первого члена арифметической прогрессии с заданными $a_1$ и $d$, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляя значения, получим:
$$a_{21}=a_1+(21-1)\cdot d$$

Однако, недостаточно информации для определения двадцать первого члена, так как не задано значение $a_1$ или $d$. Пожалуйста, предоставьте необходимые значения для продолжения решения этой задачи.