1) Найдите периметр треугольника АВС, если даны его вершины: А(4; 0), В(12; -2), С(5; -9). 2) Найдите длину медианы

Решение:

1) Для нахождения периметра треугольника АВС, мы должны вычислить длины всех его сторон и сложить их вместе.

Длина стороны АВ:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\]

Длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{49 + 49} = 7\]

Длина стороны CA:

\[CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(4 - 5)^2 + (0 - (-9))^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}\]

Теперь мы можем найти периметр треугольника:

\[P = AB + BC + CA = 2\sqrt{17} + 7 + \sqrt{82} \approx 2\sqrt{17} + \sqrt{82} + 7 \approx 23.35\]

Таким образом, периметр треугольника АВС составляет около 23.35 единицы длины.

2) Чтобы найти длину медианы AN треугольника АВС, мы должны вычислить координаты точки N (середины стороны BC) и затем вычислить длину отрезка AN.

Координаты точки N можно найти, используя формулы для нахождения среднего значения x и y:

\[x_N = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{12 + 5}{2} = \frac{17}{2} = 8.5\]
\[y_N = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-2 + (-9)}{2} = \frac{-11}{2} = -5.5\]

Теперь мы можем вычислить длину отрезка AN:

\[AN = \sqrt{(x_N - x_A)^2 + (y_N - y_A)^2} = \sqrt{(8.5 - 4)^2 + (-5.5 - 0)^2} = \sqrt{4.5^2 + 5.5^2} = \sqrt{20.25 + 30.25} = \sqrt{50.5} \approx 7.10\]

Таким образом, длина медианы AN треугольника АВС составляет около 7.10 единицы длины.

3) Чтобы найти координаты центра описанной окружности треугольника АВС, мы должны решить систему уравнений, которая описывает серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Для удобства, обозначим координаты центра описанной окружности как (x, y), а радиус окружности как R.

Перпендикуляр к стороне АВ должен проходить через середину стороны АВ и быть перпендикулярен стороне АВ. Середина стороны АВ имеет координаты:

\[x_{AB} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + 12}{2} = 8\]
\[y_{AB} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1\]

Уравнение прямой, проходящей через середину стороны АВ и перпендикулярной стороне АВ, имеет вид:

\[(y - y_{AB}) = -\frac{1}{{\frac{y_B - y_A}{{x_B - x_A}}}}(x - x_{AB})\]

Подставим значения координат А и В в уравнение:

\[(y - (-1)) = -\frac{1}{{\frac{(-2) - 0}{{12 - 4}}}}(x - 8)\]
\[y + 1 = -\frac{1}{{\frac{-2}{8}}}(x - 8)\]
\[y + 1 = \frac{4}{2}(x - 8)\]
\[y + 1 = 2(x - 8)\]
\[y + 1 = 2x - 16\]
\[y = 2x - 17\]

Аналогично, мы можем найти уравнения прямых, проходящих через середины сторон BC и CA:

Для стороны BC: \(y = 8.5x - 44.5\)

Для стороны CA: \(y = -2.5x + 10\)

Теперь найдем точку пересечения этих трех перпендикуляров, которая представляет собой точку центра описанной окружности треугольника. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = 2x - 17 \\ y = 8.5x - 44.5 \\ y = -2.5x + 10 \end{cases}\]

Решив данную систему, мы получим координаты центра описанной окружности:

\[x \approx 7.06\]
\[y \approx -3.57\]

Таким образом, координаты центра описанной окружности треугольника АВС примерно равны (7.06, -3.57).

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать расстояние между центром окружности и любой из вершин треугольника. Давайте воспользуемся вершиной А(4; 0):

\[R = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2} = \sqrt{(7.06 - 4)^2 + (-3.57 - 0)^2} = \sqrt{9.8536 + 12.7449} \approx \sqrt{22.5985} \approx 4.75\]

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника АВС составляет около 4.75 единицы длины.