1. Найдите объем нового конуса, если увеличить его высоту в 4 раза и уменьшить радиус основания в 2 раза при исходном

1. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема конуса: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение 3.14), \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Исходя из условия задачи, у нас есть начальный объем конуса \(V_0 = 12\) дм\(^3\). Нам нужно найти новый объем конуса после изменения его высоты и радиуса.

Высоту конуса увеличили в 4 раза, значит новая высота будет равна \(h_1 = 4 \cdot h\).

Радиус основания конуса уменьшили в 2 раза, что означает, что новый радиус будет \(r_1 = \frac{r}{2}\).

Нам нужно найти новый объем конуса \(V_1\) исходя из новых значений высоты и радиуса. Подставим эти значения в формулу для объема конуса:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\]

Вспоминаем, что \(r_1 = \frac{r}{2}\) и \(h_1 = 4 \cdot h\), подставляем эти значения в формулу:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 (4 \cdot h)\]

Упрощаем выражение:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{4} \cdot 4 \cdot h\]

\[V_1 = \pi \frac{r^2 \cdot h}{3}\]

Теперь зная, что начальный объем \(V_0 = 12\), мы можем составить уравнение:

\[12 = \pi \frac{r^2 \cdot h}{3}\]

Решим это уравнение относительно \(r^2 \cdot h\):

\[r^2 \cdot h = \frac{3 \cdot 12}{\pi}\]

\[r^2 \cdot h = \frac{36}{\pi}\]

Теперь, учитывая, что площадь \(S\) основания конуса равна \(\pi r^2\), мы можем записать новое уравнение, связывающее площадь и объем:

\[S \cdot h = \frac{36}{\pi}\]

\(\textbf{Итак, новый объем конуса равен} \frac{36}{\pi \cdot S}\), \(\textbf{где} S\) \textbf{- площадь основания.}\)

2. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для полной площади поверхности цилиндра: \(S = 2\pi r (r + h)\), где \(S\) - полная площадь поверхности, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение 3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Исходя из условия задачи, цилиндр описан вокруг правильной треугольной призмы со всеми ребрами равными \(a\). Поскольку все ребра призмы равны, значит и радиус основания цилиндра будет равен \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Теперь, используя формулу, мы можем выразить полную площадь поверхности цилиндра:

\[S = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + h\right)\]

Упрощаем выражение:

\[S = \frac{2\pi a^2}{3\sqrt{3}} + 2\pi \frac{a \cdot h}{\sqrt{3}}\]

\(\textbf{Итак, полная площадь поверхности цилиндра равна} \frac{2\pi a^2}{3\sqrt{3}} + 2\pi \frac{a \cdot h}{\sqrt{3}}\).

3. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема конуса: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение 3.14), \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Исходя из условия задачи, площадь полной поверхности конуса равна 800 \(дм^2\). Теперь, используя формулу, мы можем выразить объем конуса через известную площадь поверхности и высоту:

\[800 = \frac{1}{3}\pi r^2 + \pi r l\]

где \(l\) - образующая конуса.

Теперь нам нужно выразить радиус основания \(r\) через \(l\):

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

\[r^2 = l^2 - h^2\]

\[r = \sqrt{l^2 - h^2}\]

Возвращаясь к уравнению для объема, мы можем подставить выражение для радиуса и найти объем конуса:

\[800 = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{l^2 - h^2})^2 + \pi \sqrt{l^2 - h^2} l\]

\[800 = \frac{1}{3}\pi (l^2 - h^2) + \pi \sqrt{l^2 - h^2} l\]

\(\textbf{Итак, объем конуса равен} \frac{1}{3}\pi (l^2 - h^2) + \pi \sqrt{l^2 - h^2} l \)