1) Найдите модуль вектора а и скалярное произведение векторов а и b для заданных координат точек А, В, С. Найдите

Давайте начнем с первой части задачи.

Чтобы найти модуль вектора "а", мы можем использовать формулу для расчета длины вектора:

\[
|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}
\]

где \(a_x\), \(a_y\) и \(a_z\) - это координаты вектора \(а\).

Для заданных координат точки А (1; 3; 2), мы находим:

\[
|a| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14}
\]

Таким образом, модуль вектора "а" равен \(\sqrt{14}\).

Теперь перейдем к вычислению скалярного произведения векторов "а" и "b". Скалярное произведение векторов можно вычислить с использованием следующей формулы:

\[
a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
\]

где \(a_x\), \(a_y\), \(a_z\) - координаты вектора \(а\), а \(b_x\), \(b_y\), \(b_z\) - координаты вектора \(b\).

Исходя из заданных координат точек А(1; 3; 2), В(-2; 4; -1) и \(b = AC\), мы получаем:

\[
b = AC = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a) = (-2 - 1, 4 - 3, -1 - 2) = (-3, 1, -3)
\]

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение \(a \cdot b\):

\[
a \cdot b = 1 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = -3 + 3 - 6 = -6
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов "а" и "b" равно -6.

Перейдем к следующей части задачи, где нам нужно найти проекцию вектора "с" на вектор "d". Проекция вектора "с" на вектор "d" может быть найдена с использованием следующей формулы:

\[
\text{proj}_d c = \frac{c \cdot d}{|d|^2} \cdot d
\]

где \(c\) и \(d\) - векторы, \(c \cdot d\) - скалярное произведение векторов, а \(|d|\) - модуль вектора \(d\).

Исходя из условия, \(c = b = (-3, 1, -3)\) и \(d = AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 1, 4 - 3, -1 - 2) = (-3, 1, -3)\).

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора "с" на вектор "d":

\[
\text{proj}_d c = \frac{(-3, 1, -3) \cdot (-3, 1, -3)}{|-3, 1, -3|^2} \cdot (-3, 1, -3)
\]

Модуль вектора \(|-3, 1, -3|\) вычисляется следующим образом:

\[
|-3, 1, -3| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{19}
\]

Теперь мы можем вычислить проекцию:

\[
\text{proj}_d c = \frac{(-3, 1, -3) \cdot (-3, 1, -3)}{\sqrt{19}^2} \cdot (-3, 1, -3) = \frac{19}{19} \cdot (-3, 1, -3) = (-3, 1, -3)
\]

Таким образом, проекция вектора "с" на вектор "d" равна (-3, 1, -3).

Наконец, в последней части задачи нам нужно найти координаты точки "М", которая разделяет отрезок перпендикулярно в отношении \(\alpha/\beta\), где \(\alpha = AB + 5CB\) и \(\beta = AB\).

Начнем с вычисления значения \(\alpha\):

\[
\alpha = AB + 5CB = (-3, 1, -3) + 5 \cdot (-3, 1, -3) = (-3, 1, -3) + (-15, 5, -15) = (-18, 6, -18)
\]

Теперь мы можем вычислить значения \(\beta\):

\[
\beta = AB = (-3, 1, -3)
\]

Точка "М" может быть найдена так:

\[
M = A + \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot (B - A)
\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[
M = (1, 3, 2) + \frac{(-18, 6, -18)}{(-18, 6, -18) + (-3, 1, -3)} \cdot ((-2, 4, -1) - (1, 3, 2))
\]

\[
M = (1, 3, 2) + \frac{(-18, 6, -18)}{(-21, 7, -21)} \cdot (-3, 1, -3)
\]

\[
M = (1, 3, 2) + \frac{(-18, 6, -18)}{(-21, 7, -21)} \cdot (-3, 1, -3)
\]

\[
M \approx (1, 3, 2) + (1.286, -0.429, 1.286) \approx (2.286, 2.571, 3.286)
\]

Таким образом, координаты точки "М" примерно равны (2.286, 2.571, 3.286).

Я надеюсь, что этот подробный ответ с объяснениями и пошаговым решением помог вам понять задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.