1. Найдите косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/3. 2. Получите

Конечно! Давайте решим поставленные задачи по порядку.

1. Чтобы найти косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, нам нужно использовать соотношение между синусом и косинусом данного угла. Мы знаем, что синус угла при основании равен 1/3. В равнобедренном треугольнике, угол при вершине и угол при основании равны.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, где две равные стороны равны между собой, обозначим эту сторону как $a$.

Используя формулу $\sin (\alpha )=\frac{\text{{противоположная сторона}}}{\text{{гипотенуза}}}$, мы можем записать
$$\sin (\alpha )=\frac{1}{3}=\frac{a}{a}=\frac{1}{a}$$

Теперь, используя формулу $\cos (\alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha )}$, раскроем эту формулу для нахождения косинуса угла при вершине:
$$\cos (\alpha )=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{a}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}$$

Таким образом, косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике равен $\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}$. Пожалуйста, измените это выражение в случае, если у вас есть дополнительные данные о значении стороны $a$.

2. Теперь перейдем к формулам для тройного угла:
а) Формула для $\sin (3\alpha )$: $$\sin (3\alpha )=3\sin (\alpha )-4{\sin }^3(\alpha )$$
б) Формула для $\cos (3\alpha )$: $$\cos (3\alpha )=4{\cos }^3(\alpha )-3\cos (\alpha )$$
в) Формула для $\tan (3\alpha )$: $$\tan (3\alpha )=\frac{3\tan (\alpha )-{\tan }^3(\alpha )}{1-3{\tan }^2(\alpha )}$$

Эти формулы позволяют нам выразить значение тройного угла через значение одного угла. Они могут быть полезны при решении задач и дальнейшем изучении тригонометрии.

3. Наконец, приступим к доказательству:
а) Доказательство для $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{1}{4}$:
Мы можем использовать формулы двойного угла для косинуса и замечательный тригонометрический предел $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Раскроем левую сторону:
$$\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\left(\frac{1+\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)+\frac{1}{2}\cdot {\cos }^2\left(\frac{2\pi }{5}\right)$$

Теперь вспомним формулу для $\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$:
$$\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
и подставим ее в наше выражение:
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)}^2$$
$$=-\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{5}{32}$$
$$=\frac{1}{4}$$

Таким образом, $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{1}{4}$ доказано.

б) Доказательство для $\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }$:
Заметим, что углы 20°, 40°, 80° являются частями угла 180°. Пользуясь формулой для угла в дополнении, мы можем записать этот угол как 180° - 100° = 80°.

Тогда выражение примет вид:
$$\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }=\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \cos ({180}^{\circ }-{100}^{\circ })$$

Используя формулу для косинуса угла суммы двух углов, можем раскрыть выражение:
$$=\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot (\cos {100}^{\circ })$$

Теперь вспомним формулу для $\cos ({180}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$:
$$=\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot (\cos {80}^{\circ })$$
$$=\left(\frac{1+\cos {40}^{\circ }}{2}\right)\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \left(\frac{1+\cos {160}^{\circ }}{2}\right)$$

Подставляем значения:
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\cos {40}^{\circ }}{2}\cdot \frac{1+\cos {160}^{\circ }}{2}$$

Учитывая, что $\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$, получаем:
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\cos {40}^{\circ }}{2}\cdot \frac{1-\cos {20}^{\circ }}{2}$$

Теперь заметим, что $\cos ({180}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ и снова подставим значения:
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\cos {40}^{\circ }}{2}\cdot \frac{1-\cos ({180}^{\circ }-{160}^{\circ })}{2}$$
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\cos {40}^{\circ }}{2}\cdot \frac{1-\cos {20}^{\circ }}{2}$$

Продолжая вычисления, получим:
$$=\frac{1}{8}\cdot (1+\cos {40}^{\circ })\cdot (1-\cos {20}^{\circ })$$
$$=\frac{1}{8}-\frac{\cos {40}^{\circ }}{8}+\frac{\cos {40}^{\circ }}{8}-\frac{\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }}{8}$$
$$=\frac{1}{8}-\frac{\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }}{8}$$

Теперь остается упростить выражение. Мы можем использовать формулу для произведения косинусов углов:
$$\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cdot \left(\frac{\cos ({40}^{\circ }+{20}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{20}^{\circ })}{2}\right)$$

Раскрываем скобки и дальше упрощаем:
$$\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cdot \left(\frac{\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }}{2}\right)$$
$$=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cdot \left(\frac{\frac{1}{2}+\cos {20}^{\circ }}{2}\right)$$
$$=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-\frac{\cos {20}^{\circ }}{16}$$
$$=\frac{1}{16}-\frac{\cos {20}^{\circ }}{16}$$
$$=\frac{1-\cos {20}^{\circ }}{16}$$

Таким образом, $\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }=\frac{1-\cos {20}^{\circ }}{16}$ доказано.

Я надеюсь, что эти решения и объяснения помогут вам лучше понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!