1. Найдите косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/3. 2. Получите

1. Найдите косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/3.
2. Получите новые формулы для тройного угла: а) sin3α = 3sinα−4sin 3 α; б) cos3α = 4cos 3 α−3cosα; в) tg3α = (3tgα−tg 3 α)/( 1−3tg 2 α).
3. Докажите, что: а) cos π/ 5*cos2π /5=1 /4; б) cos20 0 cos40 0 cos80 0.
Солнечный_Шарм

Солнечный_Шарм

Конечно! Давайте решим поставленные задачи по порядку.

1. Чтобы найти косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, нам нужно использовать соотношение между синусом и косинусом данного угла. Мы знаем, что синус угла при основании равен 1/3. В равнобедренном треугольнике, угол при вершине и угол при основании равны.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, где две равные стороны равны между собой, обозначим эту сторону как a.

Используя формулу sin(α)={противоположная сторона}{гипотенуза}, мы можем записать
sin(α)=13=aa=1a

Теперь, используя формулу cos(α)=1sin2(α), раскроем эту формулу для нахождения косинуса угла при вершине:
cos(α)=1(1a)2=11a2=a21a2

Таким образом, косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике равен a21a2. Пожалуйста, измените это выражение в случае, если у вас есть дополнительные данные о значении стороны a.

2. Теперь перейдем к формулам для тройного угла:
а) Формула для sin(3α): sin(3α)=3sin(α)4sin3(α)
б) Формула для cos(3α): cos(3α)=4cos3(α)3cos(α)
в) Формула для tan(3α): tan(3α)=3tan(α)tan3(α)13tan2(α)

Эти формулы позволяют нам выразить значение тройного угла через значение одного угла. Они могут быть полезны при решении задач и дальнейшем изучении тригонометрии.

3. Наконец, приступим к доказательству:
а) Доказательство для cos(π5)cos(2π5)=14:
Мы можем использовать формулы двойного угла для косинуса и замечательный тригонометрический предел cos(π3)=12.

Раскроем левую сторону:
cos(π5)cos(2π5)=(1+cos(2π5)2)cos(2π5)
=12cos(2π5)+12cos2(2π5)

Теперь вспомним формулу для cos(2π5):
cos(2π5)=1+54
и подставим ее в наше выражение:
121+54+12(1+54)2
=18+58+1858+532
=14

Таким образом, cos(π5)cos(2π5)=14 доказано.

б) Доказательство для cos20cos40cos80:
Заметим, что углы 20°, 40°, 80° являются частями угла 180°. Пользуясь формулой для угла в дополнении, мы можем записать этот угол как 180° - 100° = 80°.

Тогда выражение примет вид:
cos20cos40cos80=cos20cos40cos(180100)

Используя формулу для косинуса угла суммы двух углов, можем раскрыть выражение:
=cos20cos40(cos100)

Теперь вспомним формулу для cos(180θ)=cosθ:
=cos20cos40(cos80)
=(1+cos402)cos40(1+cos1602)

Подставляем значения:
=121+cos4021+cos1602

Учитывая, что cos(180θ)=cosθ, получаем:
=121+cos4021cos202

Теперь заметим, что cos(180θ)=cosθ и снова подставим значения:
=121+cos4021cos(180160)2
=121+cos4021cos202

Продолжая вычисления, получим:
=18(1+cos40)(1cos20)
=18cos408+cos408cos40cos208
=18cos40cos208

Теперь остается упростить выражение. Мы можем использовать формулу для произведения косинусов углов:
1818(cos(40+20)+cos(4020)2)

Раскрываем скобки и дальше упрощаем:
1818(cos60+cos202)
=1818(12+cos202)
=18116cos2016
=116cos2016
=1cos2016

Таким образом, cos20cos40cos80=1cos2016 доказано.

Я надеюсь, что эти решения и объяснения помогут вам лучше понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello