1. Найдите косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/3.
2. Получите новые формулы для тройного угла: а) sin3α = 3sinα−4sin 3 α; б) cos3α = 4cos 3 α−3cosα; в) tg3α = (3tgα−tg 3 α)/( 1−3tg 2 α).
3. Докажите, что: а) cos π/ 5*cos2π /5=1 /4; б) cos20 0 cos40 0 cos80 0.
2. Получите новые формулы для тройного угла: а) sin3α = 3sinα−4sin 3 α; б) cos3α = 4cos 3 α−3cosα; в) tg3α = (3tgα−tg 3 α)/( 1−3tg 2 α).
3. Докажите, что: а) cos π/ 5*cos2π /5=1 /4; б) cos20 0 cos40 0 cos80 0.
Солнечный_Шарм
Конечно! Давайте решим поставленные задачи по порядку.
1. Чтобы найти косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, нам нужно использовать соотношение между синусом и косинусом данного угла. Мы знаем, что синус угла при основании равен 1/3. В равнобедренном треугольнике, угол при вершине и угол при основании равны.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, где две равные стороны равны между собой, обозначим эту сторону как \( a \).
Используя формулу \( \sin(\alpha) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \), мы можем записать
\[ \sin(\alpha) = \frac{1}{3} = \frac{a}{a} = \frac{1}{a} \]
Теперь, используя формулу \( \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} \), раскроем эту формулу для нахождения косинуса угла при вершине:
\[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{a}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 - 1}{a^2}} \]
Таким образом, косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике равен \( \sqrt{\frac{a^2 - 1}{a^2}} \). Пожалуйста, измените это выражение в случае, если у вас есть дополнительные данные о значении стороны \( a \).
2. Теперь перейдем к формулам для тройного угла:
а) Формула для \(\sin(3\alpha)\): \[ \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) \]
б) Формула для \(\cos(3\alpha)\): \[ \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha) \]
в) Формула для \(\tan(3\alpha)\): \[ \tan(3\alpha) = \frac{{3\tan(\alpha) - \tan^3(\alpha)}}{{1-3\tan^2(\alpha)}} \]
Эти формулы позволяют нам выразить значение тройного угла через значение одного угла. Они могут быть полезны при решении задач и дальнейшем изучении тригонометрии.
3. Наконец, приступим к доказательству:
а) Доказательство для \(\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{4}\):
Мы можем использовать формулы двойного угла для косинуса и замечательный тригонометрический предел \(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).
Раскроем левую сторону:
\[ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \left(\frac{1 + \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right)}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) \]
Теперь вспомним формулу для \(\cos \left(\frac{2\pi}{5}\right)\):
\[ \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \]
и подставим ее в наше выражение:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 \]
\[ = -\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{32} \]
\[ = \frac{1}{4} \]
Таким образом, \(\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{4}\) доказано.
б) Доказательство для \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ\):
Заметим, что углы 20°, 40°, 80° являются частями угла 180°. Пользуясь формулой для угла в дополнении, мы можем записать этот угол как 180° - 100° = 80°.
Тогда выражение примет вид:
\[ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos (180^\circ - 100^\circ) \]
Используя формулу для косинуса угла суммы двух углов, можем раскрыть выражение:
\[ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot (\cos 100^\circ) \]
Теперь вспомним формулу для \(\cos(180^\circ - \theta) = \cos \theta\):
\[ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot (\cos 80^\circ) \]
\[ = \left(\frac{1 + \cos 40^\circ}{2}\right) \cdot \cos 40^\circ \cdot \left(\frac{1 + \cos 160^\circ}{2}\right) \]
Подставляем значения:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 + \cos 160^\circ}{2} \]
Учитывая, что \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\), получаем:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \]
Теперь заметим, что \(\cos(180^\circ - \theta) = \cos \theta\) и снова подставим значения:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos (180^\circ - 160^\circ)}{2} \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \]
Продолжая вычисления, получим:
\[ = \frac{1}{8} \cdot (1 + \cos 40^\circ) \cdot (1 - \cos 20^\circ) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{\cos 40^\circ}{8} + \frac{\cos 40^\circ}{8} - \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{8} \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{8} \]
Теперь остается упростить выражение. Мы можем использовать формулу для произведения косинусов углов:
\[ \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\cos (40^\circ + 20^\circ) + \cos (40^\circ - 20^\circ)}{2}\right) \]
Раскрываем скобки и дальше упрощаем:
\[ \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\cos 60^\circ + \cos 20^\circ}{2}\right) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\frac{1}{2} + \cos 20^\circ}{2}\right) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{\cos 20^\circ}{16} \]
\[ = \frac{1}{16} - \frac{\cos 20^\circ}{16} \]
\[ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{16} \]
Таким образом, \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{16}\) доказано.
Я надеюсь, что эти решения и объяснения помогут вам лучше понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!
1. Чтобы найти косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике, нам нужно использовать соотношение между синусом и косинусом данного угла. Мы знаем, что синус угла при основании равен 1/3. В равнобедренном треугольнике, угол при вершине и угол при основании равны.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны треугольника. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, где две равные стороны равны между собой, обозначим эту сторону как \( a \).
Используя формулу \( \sin(\alpha) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \), мы можем записать
\[ \sin(\alpha) = \frac{1}{3} = \frac{a}{a} = \frac{1}{a} \]
Теперь, используя формулу \( \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} \), раскроем эту формулу для нахождения косинуса угла при вершине:
\[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{a}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 - 1}{a^2}} \]
Таким образом, косинус угла при вершине в равнобедренном треугольнике равен \( \sqrt{\frac{a^2 - 1}{a^2}} \). Пожалуйста, измените это выражение в случае, если у вас есть дополнительные данные о значении стороны \( a \).
2. Теперь перейдем к формулам для тройного угла:
а) Формула для \(\sin(3\alpha)\): \[ \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) \]
б) Формула для \(\cos(3\alpha)\): \[ \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha) \]
в) Формула для \(\tan(3\alpha)\): \[ \tan(3\alpha) = \frac{{3\tan(\alpha) - \tan^3(\alpha)}}{{1-3\tan^2(\alpha)}} \]
Эти формулы позволяют нам выразить значение тройного угла через значение одного угла. Они могут быть полезны при решении задач и дальнейшем изучении тригонометрии.
3. Наконец, приступим к доказательству:
а) Доказательство для \(\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{4}\):
Мы можем использовать формулы двойного угла для косинуса и замечательный тригонометрический предел \(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).
Раскроем левую сторону:
\[ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \left(\frac{1 + \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right)}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) \]
Теперь вспомним формулу для \(\cos \left(\frac{2\pi}{5}\right)\):
\[ \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \]
и подставим ее в наше выражение:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2 \]
\[ = -\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{32} \]
\[ = \frac{1}{4} \]
Таким образом, \(\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{4}\) доказано.
б) Доказательство для \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ\):
Заметим, что углы 20°, 40°, 80° являются частями угла 180°. Пользуясь формулой для угла в дополнении, мы можем записать этот угол как 180° - 100° = 80°.
Тогда выражение примет вид:
\[ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos (180^\circ - 100^\circ) \]
Используя формулу для косинуса угла суммы двух углов, можем раскрыть выражение:
\[ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot (\cos 100^\circ) \]
Теперь вспомним формулу для \(\cos(180^\circ - \theta) = \cos \theta\):
\[ = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot (\cos 80^\circ) \]
\[ = \left(\frac{1 + \cos 40^\circ}{2}\right) \cdot \cos 40^\circ \cdot \left(\frac{1 + \cos 160^\circ}{2}\right) \]
Подставляем значения:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 + \cos 160^\circ}{2} \]
Учитывая, что \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\), получаем:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \]
Теперь заметим, что \(\cos(180^\circ - \theta) = \cos \theta\) и снова подставим значения:
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos (180^\circ - 160^\circ)}{2} \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \cdot \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \]
Продолжая вычисления, получим:
\[ = \frac{1}{8} \cdot (1 + \cos 40^\circ) \cdot (1 - \cos 20^\circ) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{\cos 40^\circ}{8} + \frac{\cos 40^\circ}{8} - \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{8} \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{8} \]
Теперь остается упростить выражение. Мы можем использовать формулу для произведения косинусов углов:
\[ \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\cos (40^\circ + 20^\circ) + \cos (40^\circ - 20^\circ)}{2}\right) \]
Раскрываем скобки и дальше упрощаем:
\[ \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\cos 60^\circ + \cos 20^\circ}{2}\right) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\frac{1}{2} + \cos 20^\circ}{2}\right) \]
\[ = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{\cos 20^\circ}{16} \]
\[ = \frac{1}{16} - \frac{\cos 20^\circ}{16} \]
\[ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{16} \]
Таким образом, \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{16}\) доказано.
Я надеюсь, что эти решения и объяснения помогут вам лучше понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
