1. Найдите координаты вектора ⃗ и длину вектора ⃗ для точек A(5; 2;0) и B(-4; 3; 0).
2. Найдите координаты точки M, середины отрезка AB, при условии, что A(-5; 1; 10) и B(-5; 16; -14).
3. Вычислите угол между прямыми AB и CD, где A(1; 1; 0), B( 3; -1; 0), C(4; -1; 2), D(0; 1; 0).
4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0(5; 6; 9) и перпендикулярной вектору ⃗{4;1;-3}.
5. Покажите, что треугольник ABC является прямоугольным, если его вершины имеют координаты: A(3; 1; 2), B(1; 2; -1), C( -2; 2; 1).
6. Определите взаимное расположение.
2. Найдите координаты точки M, середины отрезка AB, при условии, что A(-5; 1; 10) и B(-5; 16; -14).
3. Вычислите угол между прямыми AB и CD, где A(1; 1; 0), B( 3; -1; 0), C(4; -1; 2), D(0; 1; 0).
4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0(5; 6; 9) и перпендикулярной вектору ⃗{4;1;-3}.
5. Покажите, что треугольник ABC является прямоугольным, если его вершины имеют координаты: A(3; 1; 2), B(1; 2; -1), C( -2; 2; 1).
6. Определите взаимное расположение.
Дмитрий
1. Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AB}\), нужно вычислить разность координат точек B и A. Выполним вычитание:
\[
\vec{AB} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 - 5 \\ 3 - 2 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Теперь найдем длину вектора \(\vec{AB}\) с помощью формулы длины вектора:
\[
|\vec{AB}| = \sqrt{(-9)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{82}
\]
Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны (-9, 1, 0), а его длина равна \(\sqrt{82}\).
2. Чтобы найти координаты точки M, середины отрезка AB, нужно взять среднее арифметическое от соответствующих координат точек A и B. Выполним это:
\[
M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = \left(\frac{-5 + (-5)}{2}, \frac{1 + 16}{2}, \frac{10 + (-14)}{2}\right) = (-5, 8.5, -2)
\]
Таким образом, координаты точки M равны (-5, 8.5, -2).
3. Для вычисления угла между прямыми AB и CD можно использовать косинусную формулу. Используем точки A и B для определения направляющего вектора прямой AB, и точки C и D для определения направляющего вектора прямой CD. Вычислим эти векторы:
\(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 1 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\vec{CD} = \begin{bmatrix} 0 - 4 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}\)
Теперь вычислим косинус угла между этими векторами, используя формулу скалярного произведения:
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot 2 + 0 \cdot (-2) = -8 - 4 = -12\)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\( |\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
Подставим значения в формулу:
\(\cos(\theta) = \frac{-12}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-12}{4\sqrt{2\cdot6}} = \frac{-12}{4\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}}\)
Для упрощения выражения, выведем корень из знаменателя:
\(\frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = \frac{-\sqrt{3}}{2}\)
Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен \(\theta = \arccos\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\).
4. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и перпендикулярной вектору \(\vec{v}\), мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде:
\(Ax + By + Cz + D = 0\), где \((A, B, C)\) - координаты вектора нормали к плоскости.
Мы знаем, что вектор нормали перпендикулярен вектору \(\vec{v}\), поэтому вектор нормали будет пропорционален к \(\vec{v}\). Пусть \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}\), тогда вектор нормали можно записать в виде \(\vec{n} = \begin{bmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ k \cdot v_3 \end{bmatrix}\), где \(k\) - произвольная константа.
Так как плоскость проходит через точку M0, то координаты этой точки подставляются в уравнение:
\(A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D = 0\)
Заменим значения:
\(k \cdot v_1 \cdot x_0 + k \cdot v_2 \cdot y_0 + k \cdot v_3 \cdot z_0 + D = 0\)
Упростим уравнение, поделив обе части на \(k\):
\(v_1 \cdot x_0 + v_2 \cdot y_0 + v_3 \cdot z_0 + \frac{D}{k} = 0\)
Мы хотели найти уравнение плоскости через точку \(M_0\), поэтому заменим \(\frac{D}{k}\) на константу \(D"\):
\(v_1 \cdot x_0 + v_2 \cdot y_0 + v_3 \cdot z_0 + D" = 0\)
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(5, 6, 9)\) и перпендикулярной вектору \(\vec{v} \{4, 1, -3\}\), будет иметь вид \(4x + y - 3z + D" = 0\), где \(D"\) - некоторая константа.
5. Чтобы показать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем проверить, соответствуют ли этому треугольнику теореме Пифагора. Если квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух оставшихся сторон, то треугольник будет прямоугольным.
Для начала найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)
\(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\)
\(CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}\)
Подставим значения вершин треугольника:
\(AB = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\)
\(BC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}\)
\(CA = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
Теперь вычислим квадраты всех сторон:
\(AB^2 = (\sqrt{14})^2 = 14\)
\(BC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13\)
\(CA^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27\)
Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
\(AB^2 + BC^2 = 14 + 13 = 27 = CA^2\)
Так как сумма квадратов длин двух меньших сторон равна квадрату длины наибольшей стороны, треугольник ABC является прямоугольным.
6. Продолжение вопроса не было предоставлено. Пожалуйста, уточните, какое взаимное расположение нужно определить.
\[
\vec{AB} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 - 5 \\ 3 - 2 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Теперь найдем длину вектора \(\vec{AB}\) с помощью формулы длины вектора:
\[
|\vec{AB}| = \sqrt{(-9)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{82}
\]
Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны (-9, 1, 0), а его длина равна \(\sqrt{82}\).
2. Чтобы найти координаты точки M, середины отрезка AB, нужно взять среднее арифметическое от соответствующих координат точек A и B. Выполним это:
\[
M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = \left(\frac{-5 + (-5)}{2}, \frac{1 + 16}{2}, \frac{10 + (-14)}{2}\right) = (-5, 8.5, -2)
\]
Таким образом, координаты точки M равны (-5, 8.5, -2).
3. Для вычисления угла между прямыми AB и CD можно использовать косинусную формулу. Используем точки A и B для определения направляющего вектора прямой AB, и точки C и D для определения направляющего вектора прямой CD. Вычислим эти векторы:
\(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 1 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\vec{CD} = \begin{bmatrix} 0 - 4 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}\)
Теперь вычислим косинус угла между этими векторами, используя формулу скалярного произведения:
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot 2 + 0 \cdot (-2) = -8 - 4 = -12\)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\( |\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
Подставим значения в формулу:
\(\cos(\theta) = \frac{-12}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-12}{4\sqrt{2\cdot6}} = \frac{-12}{4\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}}\)
Для упрощения выражения, выведем корень из знаменателя:
\(\frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = \frac{-\sqrt{3}}{2}\)
Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен \(\theta = \arccos\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\).
4. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и перпендикулярной вектору \(\vec{v}\), мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде:
\(Ax + By + Cz + D = 0\), где \((A, B, C)\) - координаты вектора нормали к плоскости.
Мы знаем, что вектор нормали перпендикулярен вектору \(\vec{v}\), поэтому вектор нормали будет пропорционален к \(\vec{v}\). Пусть \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}\), тогда вектор нормали можно записать в виде \(\vec{n} = \begin{bmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ k \cdot v_3 \end{bmatrix}\), где \(k\) - произвольная константа.
Так как плоскость проходит через точку M0, то координаты этой точки подставляются в уравнение:
\(A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D = 0\)
Заменим значения:
\(k \cdot v_1 \cdot x_0 + k \cdot v_2 \cdot y_0 + k \cdot v_3 \cdot z_0 + D = 0\)
Упростим уравнение, поделив обе части на \(k\):
\(v_1 \cdot x_0 + v_2 \cdot y_0 + v_3 \cdot z_0 + \frac{D}{k} = 0\)
Мы хотели найти уравнение плоскости через точку \(M_0\), поэтому заменим \(\frac{D}{k}\) на константу \(D"\):
\(v_1 \cdot x_0 + v_2 \cdot y_0 + v_3 \cdot z_0 + D" = 0\)
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(5, 6, 9)\) и перпендикулярной вектору \(\vec{v} \{4, 1, -3\}\), будет иметь вид \(4x + y - 3z + D" = 0\), где \(D"\) - некоторая константа.
5. Чтобы показать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем проверить, соответствуют ли этому треугольнику теореме Пифагора. Если квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух оставшихся сторон, то треугольник будет прямоугольным.
Для начала найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)
\(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\)
\(CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}\)
Подставим значения вершин треугольника:
\(AB = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\)
\(BC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}\)
\(CA = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
Теперь вычислим квадраты всех сторон:
\(AB^2 = (\sqrt{14})^2 = 14\)
\(BC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13\)
\(CA^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27\)
Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
\(AB^2 + BC^2 = 14 + 13 = 27 = CA^2\)
Так как сумма квадратов длин двух меньших сторон равна квадрату длины наибольшей стороны, треугольник ABC является прямоугольным.
6. Продолжение вопроса не было предоставлено. Пожалуйста, уточните, какое взаимное расположение нужно определить.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
