1. Найдите длины отрезков FC и КС , если на стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка d, при условии

Хорошо, описанные задачи являются геометрическими и требуют рассмотреть различные свойства треугольников. Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Найдем длины отрезков FC и КС.
Из условия мы знаем, что отрезки BD и AD равны 4 см и 6 см соответственно.
Поскольку треугольник ABC - равносторонний, то все его стороны равны между собой.
Поскольку точка D делит отрезок AB в соотношении 4:6, мы можем найти длину отрезка AB.
По формуле расстояния между двумя точками:
AB = AD + BD = 6 см + 4 см = 10 см.
Так как треугольник ABC - равносторонний, то отрезок AB равен отрезкам AC и BC.
Следовательно, AB = AC = BC = 10 см.

Теперь рассмотрим треугольник ACF. Этот треугольник прямоугольный, так как перпендикуляр DF опущен из вершины треугольника. Отрезок AC является гипотенузой треугольника, а отрезки AF и CF - катетами.
Зная, что треугольник ACF является прямоугольным с катетами AF и CF, мы можем применить теорему Пифагора:
\(AC^2 = AF^2 + CF^2\).

Так как AC = AB = 10 см (равносторонний треугольник), то:
\(10^2 = AF^2 + CF^2\).

Теперь рассмотрим треугольник BCK. По аналогии с предыдущим случаем:
\(BC^2 = BK^2 + CK^2\).

Вернемся к основному треугольнику ABC. Если мы знаем, что длина отрезка BD равна 4 см, а длина отрезка AD равна 6 см, то можно найти длину отрезка CD, используя выражение:
\(CD = AC - AD - BD\).

Для нашего случая:
\(CD = 10 см - 6 см - 4 см = 0 см\).

Таким образом, точка C совпадает с точкой D, и длины отрезков FC и KC равны 0 см.

Получаем, что \(FC = 0 см\) и \(KC = 0 см\).

2. Вычислим периметр прямоугольного треугольника.
Из условия задачи известно, что угол А равен 30 градусов, гипотенуза AB равна 34 см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 15 см.

Зная угол А, мы можем найти угол B, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Угол B = 180 градусов - угол А = 180 градусов - 30 градусов = 150 градусов.

Мы знаем, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из них.

Обозначим катет треугольника как h, а другой катет как x.
Тогда, гипотенуза равна AB = 34 см, а высота равна h = 15 см.

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике:
\(AB^2 = h^2 + x^2\).

Подставляя значения, имеем:
\(34^2 = 15^2 + x^2\).

Решая уравнение, находим значение x:
\(x^2 = 34^2 - 15^2\), \(x^2 = 784 - 225\), \(x^2 = 559\), \(x \approx 23.63\).

Зная значение катета x, мы можем вычислить периметр прямоугольного треугольника, который является суммой длин сторон треугольника:
Периметр = AB + h + x = 34 см + 15 см + 23.63 см ≈ 72.63 см.

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника составляет примерно 72.63 см.

3. Найдем длину медианы э, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
Из условия задачи известно, что угол при вершине равен 120 градусов, а боковая сторона равна 47.8 см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и делит основание на две равные части.
Поэтому, мы можем обозначить это основание как х и рассмотреть правильный треугольник с двумя сторонами длиной х.

Чтобы найти длину медианы, проведенной к основанию, нам необходимо знать длину боковой стороны.
Зная, что боковая сторона равна 47,8 см, мы можем применить теорему косинусов в равнобедренном треугольнике:
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)\).

В нашем случае:
\(a = 47,8\), \(b = x\), \(c = x\) (основание треугольника), \(A = 120^{\circ}\).

Подставляя значения, имеем:
\(47.8^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cdot \cos(120^{\circ})\).
\(47.8^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \cos(120^{\circ})\).
\(x = \sqrt{47.8^2 / (2 - 2 \cdot \cos(120^{\circ}))}\).

Решая уравнение, находим значение x:
\(x \approx 27.61\).

Медиана проведена к основанию и делит его на две равные части. Тогда длина медианы равна половине основания, то есть \(x/2 = 27.61 / 2 \approx 13.805\).

Таким образом, длина медианы э, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, примерно равна 13.805 см.

4. В вашем запросе отсутствует вопрос или описание задачи. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию, чтобы я мог помочь вам в полной мере.