№1. Найдите длину боковой стороны в равнобедренном треугольнике, где высоты, проведенные к основанию и боковой стороне

Давайте решим задачи по порядку:

№1. Найдем длину боковой стороны в равнобедренном треугольнике. У нас даны высоты, проведенные к основанию и боковой стороне. По определению равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Так как у нас задана эта высота равна 5 см. Мы можем рассмотреть один из прямоугольных треугольников.

Обозначим длину основания этого треугольника как $x$. Тогда, согласно заданию, длина высоты, проведенной к основанию, равна 5 см. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины боковой стороны. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.

В нашем случае, гипотенуза треугольника - это боковая сторона, а катеты - это половинки основания и высота, проведенная к основанию.
Мы можем записать это в виде уравнения:

$${\frac{x}{2}}^2+5^2=x^2$$

Раскроем скобки:

$$\frac{x^2}{4}+25=x^2$$

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

$$x^2-\frac{x^2}{4}=25$$

Упростим:

$$\frac{3}{4}{x}^2=25$$

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ для избавления от знаменателя:

$$x^2=\frac{4}{3}\times 25$$

Рассчитаем это:

$$x^2=\frac{100}{3}$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\sqrt{\frac{100}{3}}$$

Приведем дробь в квадратном корне к десятичному виду:

$$x\approx 5,77$$

Таким образом, длина боковой стороны в равнобедренном треугольнике составляет приблизительно 5,77 см.

№2. Чтобы найти площадь трапеции, у нас есть несколько известных данных. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам, а периметр равен 42 см. Меньшее основание равно 3 см.

Обозначим длину меньшего основания треугольника как $a$, а диагонали треугольника - $d$.

Так как диагональ делит трафеюз в два равных треугольника, то мы можем разделить трапецию на два равных треугольника и прямоугольник. Размер равных треугольников мы можем выразить через $a$, и половина диагонали будет являться основанием треугольника, а смежная сторона будет равна высоте треугольника. Чтобы найти площадь каждого из треугольников, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

$$S_{\text{треугольника}}=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$$

Также, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам также понадобится формулы площади прямоугольника:

$$S_{\text{прямоугольника}}=\text{длина}\times \text{ширина}$$

Получится следующая система уравнений:

$$\frac{1}{2}\times a\times \frac{d}{2}+\frac{1}{2}\times (a+3)\times \frac{d}{2}+a\times \frac{d}{2}=42$$

Упростим:

$$\frac{ad}{4}+\frac{ad}{4}+\frac{3d}{4}+\frac{ad}{2}=42$$

Совместим подобные члены:

$$\frac{3ad}{4}+\frac{3d}{4}=42$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$\frac{3d(a+1)}{4}=42$$

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$3d(a+1)=168$$

Разделим обе стороны на 3:

$$d(a+1)=56$$

Теперь мы знаем, что $d$ и $a+1$ должны быть двумя числами, которые вместе дают 56. Из всех возможных пар чисел (которых не так много), нам нужно выбрать такую пару, чтобы одно из чисел было равным 3 (так как меньшее основание равно 3 см).

Нашей главной задачей является выбор из всех возможных пар чисел ту пару, которая удовлетворяет условию равнобедренной трапеции. Таким образом, другая сторона меньшего основания ($a+1$) должна быть равна 3 + 3 = 6 см.

Итак, мы нашли длину меньшего основания, оно равно 3 см, а длина большего основания равна 6 см.

№3. В задаче нам дано, что площадь трапеции составляет 110 м², высота равна 11 м, а разность длин оснований равна $x$.

При вычислении площади трапеции можно воспользоваться формулой:

$$S_{\text{трапеции}}=\frac{a+b}{2}\times h$$

Где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - высота.

Нам известны значения площади и высоты, поэтому мы можем записать уравнение следующим образом:

$$\frac{a+b}{2}\times 11=110$$

Раскроем скобки и упростим:

$$a+b=20$$

Также нам дана разность длин оснований, которую мы обозначим как $x$. То есть $a-b=x$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}a+b=20\\ a-b=x\end{array}$$

Добавим оба уравнения:

$$(a+b)+(a-b)=20+x$$

Упростим:

$$2a=20+x$$

Так как мы хотим найти значения обоих оснований, а не отдельно $a$ и $b$, мы можем решить это уравнение относительно $a$:

$$a=\frac{20+x}{2}$$

Используя это значение $a$, мы можем найти $b$ подставив его в уравнение $a+b=20$:

$$\frac{20+x}{2}+b=20$$

Выразим $b$:

$$b=20-\frac{20+x}{2}$$

Теперь у нас есть выражения для обоих оснований:

$$a=\frac{20+x}{2}$$
$$b=20-\frac{20+x}{2}$$

Описанный выше процесс позволяет нам найти значения оснований в трапеции в зависимости от заданной разности $x$. Для точного численного значения $x$ требуется дополнительная информация.