Какова площадь пересечения двух кругов с радиусами 1 и √3, если расстояние между их центрами равно?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти площадь пересечения двух кругов. Для начала, давайте взглянем на изображение, чтобы понять ситуацию лучше.

Изображим два круга с радиусами 1 и \(\sqrt{3}\), а центры кругов будут отстоять друг от друга на расстоянии \(d\).

\[
\begin{array}{c}
\text{О}\\
\text{О}
\end{array}
\]

Обратите внимание, что круги пересекаются, и у нас есть общая область пересечения. Наша задача - найти площадь этой общей области.

Давайте сначала вычислим длину отрезка \(AB\), который является горизонтальным сегментом между двумя точками пересечения кругов.

Поскольку расстояние между центрами кругов равно \(d\), а радиусы кругов равны 1 и \(\sqrt{3}\), мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить длину отрезка \(AB\).

\[
AB = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3-1} = \sqrt{2}
\]

Теперь, чтобы найти площадь пересечения кругов, нам нужно вычислить площадь двух сегментов и треугольника.

Давайте начнем с площади сегмента \(AOB\). Чтобы найти площадь сегмента, нам нужно найти площадь соответствующего сектора и вычесть площадь треугольника \(AOB\).

Площадь сектора \(AOB\) равна:

\[
\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot (1^2) \cdot \frac{{\angle AOB}}{{360^\circ}} = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot \frac{{\pi}}{{3\pi}} = \frac{1}{18} \pi
\]

Площадь треугольника \(AOB\) равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними:

\[
\text{Синус угла АОВ равен: } \sin(\angle AOB) = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{6}}}{{3}}
\]

Тогда площадь треугольника равна:

\[
\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{6}}}{{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}
\]

Теперь, чтобы найти площадь сегмента \(BOC\), мы можем использовать те же шаги. Площадь сектора \(BOC\) равна:

\[
\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \frac{{\angle BOC}}{{360^\circ}} = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot \frac{{2\pi}}{{3\pi}} = \frac{1}{9} \pi
\]

Площадь треугольника \(BOC\) равна:

\[
\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{6}}}{{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}
\]

Таким образом, площадь пересечения двух кругов равна сумме площади двух сегментов и двух треугольников:

\[
\text{Площадь пересечения} = 2(\text{Площадь сегмента}) + 2(\text{Площадь треугольника})
\]

\[
= 2 \left(\frac{1}{18} \pi\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{9} \pi + \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]

\[
= \frac{\pi + 6\sqrt{3}}{9}
\]

Таким образом, площадь пересечения двух кругов с радиусами 1 и \(\sqrt{3}\) при расстоянии между их центрами равна \(\frac{\pi + 6\sqrt{3}}{9}\).