1. На якій відстані від кожного села потрібно розмістити вишку мобільного зв язку, щоб забезпечити однакову якість

1. Для розміщення вишки мобільного зв"язку таким чином, щоб забезпечити однакову якість сигналу в трьох селах, ми можемо скористатися принципом радіуса покриття, який базується на площі покриття. Задамо \(x\) як відстань від кожного села до вишки мобільного зв"язку.

Таким чином, площа покриття буде однаковою для всіх трьох сіл. Для першого села площа покриття дорівнює площі кола з радіусом \(x\) (це означає, що весь периметр села знаходиться в межах цього кола). Площа другого села - це площа кола з радіусом \(x + 4\) (так як воно знаходиться на відстані 4 км від першого села). І нарешті, площа третього села буде площею кола з радіусом \(x + 4 + 13\) (поскольку друге село розташоване на відстані 13 км від нього).

Оскільки ми хочемо, щоб площа покриття була однаковою для всіх трьох сіл, ми можемо записати наступне рівняння:

\[
\pi x^2 = \pi (x + 4)^2 = \pi (x + 4 + 13)^2
\]

Давайте розв"яжемо це рівняння. Розкривши дужки і спрощуючи, отримаємо:

\[
x^2 = (x + 4)^2 = (x + 17)^2
\]

Розкриваючи квадрати, отримаємо:

\[
x^2 = x^2 + 8x + 16 = x^2 + 34x + 289
\]

Віднімаючи \(x^2\) з обох боків і об"єднуючи подібні члени, отримаємо:

\[
8x + 16 = 34x + 289
\]

Віднімаючи \(8x\) та переносячи \(34x\) на лівий бік, а також віднімаючи 16 на обидва боки, отримаємо:

\[
16 - 289 = 34x - 8x
\]

Спрощуючи, отримаємо:

\[
-273 = 26x
\]

Ділимо обидві частини на 26:

\[
x = -\frac{273}{26}
\]

Отримуємо від"ємне значення, що не є реалістичним. Тому, можна зробити висновок, що не можливо розмістити вишку мобільного зв"язку на відстані, щоб забезпечити однакову якість сигналу в трьох селах із відстанями 4 км, 13 км і 15 км.

2. Для обчислення площі клумби в формі рівностороннього трикутника потрібно знати довжину його сторони. У нашому випадку, щонайменше, потрібно знати довжину сторони, але ми знаємо висоту 2 метри.

Довжину сторони рівностороннього трикутника можна обчислити за допомогою формули:

\[
a = \frac{{\text{{висота}}}}{{\sqrt{3}}}
\]

Заміняючи значення в формулі, отримуємо:

\[
a = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547 \, \text{м}
\]

Тепер, щоб знайти площу однієї клумби, ми можемо застосувати формулу для площі рівностороннього трикутника:

\[
S = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}
\]

Підставляючи значення, отримуємо:

\[
S = \frac{{(1.1547)^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \approx 0.6651 \, \text{м}^2
\]

Відповідь: Площа однієї клумби формою рівностороннього трикутника з висотою 2 метри становить приблизно 0.6651 метра квадратного.

3. Щоб визначити кут, під яким треба дивитися вгору з підніжжя будинку, щоб бачити верхівку дерева, ми можемо скористатися властивостю схожих трикутників.

Оскільки балкон знаходиться на відстані 50 метрів вище поверхні землі, можна утворити прямокутний трикутник, де одна сторона - це відстань від підніжжя будинку до верхівки дерева (необхідне значення), і друга сторона - це відстань від підніжжя до точки спостереження (50 метрів).

Використовуючи тангенс, можна записати співвідношення:

\[
\tan(\theta) = \frac{{\text{{протилежна сторона}}}}{{\text{{прилегла сторона}}}}
\]

При підставленні відомих значень, ми отримуємо:

\[
\tan(\theta) = \frac{{\text{{висота дерева}}}}{{50}}
\]

Знаючи висоту дерева, можна обчислити значення \( \theta \). Нехай \( h \) - висота дерева (від підніжжя будинку до верхівки дерева). Тоді:

\[
\tan(\theta) = \frac{h}{50}
\]

Щоб знайти значення \( \theta \), потрібно використовувати обернену функцію тангенсу на обох боках рівняння:

\[
\theta = \arctan\left(\frac{h}{50}\right)
\]

Отже, кут, під яким треба дивитися вгору з підніжжя будинку, щоб бачити верхівку дерева, дорівнює \( \arctan\left(\frac{h}{50}\right) \). Значення кута залежить від висоти дерева, яке вам потрібно використовувати в цій формулі.