1) На сколько больше светимость ригеля, чем светимость солнца, если его параллакс составляет 0,003’’, а видимая

1) Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу для расчета светимости звезд:

\[m_1 - m_2 = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{S_1}{S_2}\right)\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - видимые звездные величины двух звезд, \(S_1\) и \(S_2\) - их светимости.

По данной задаче, у нас есть видимая звездная величина равная 0,34 для ригеля. Также нам дано, что паралакс ригеля составляет 0,003"".

Сначала, найдем светимость ригеля:

\[m_{\text{солнце}} - m_{\text{ригель}} = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}}\right)\]

Так как солнце является базовым сравниваемым объектом, его видимая звездная величина равна 0:

\[0 - m_{\text{ригель}} = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}}\right)\]

Используя данное равенство, мы можем решить уравнение для \(S_{\text{ригель}}\):

\[-m_{\text{ригель}} = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}}\right)\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно перевести логарифмическое равенство в экспоненциальную форму:

\[\log_{10}\left(\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}}\right) = \dfrac{m_{\text{ригель}}}{2.5}\]

\[\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}} = 10^{\left(\dfrac{m_{\text{ригель}}}{2.5}\right)}\]

Теперь, используя значение паралакса и формулу паралакса \(d = \dfrac{1}{p}\), где \(d\) - расстояние до звезды, а \(p\) - паралакс, мы можем вычислить светимость ригеля:

\[\dfrac{S_{\text{солнце}}}{S_{\text{ригель}}} = \left(\dfrac{d_{\text{солнце}}}{d_{\text{ригель}}}\right)^2\]

\[\left(\dfrac{d_{\text{солнце}}}{d_{\text{ригель}}}\right)^2 = 10^{\left(\dfrac{m_{\text{ригель}}}{2.5}\right)}\]

\[\dfrac{d_{\text{солнце}}}{d_{\text{ригель}}} = \sqrt{10^{\left(\dfrac{m_{\text{ригель}}}{2.5}\right)}}\]

Мы знаем, что паралакс ригеля составляет 0,003"", поэтому паралакс ригеля равен:

\(p_{\text{ригель}} = 0,003\) (в минутах дуги)

Используя формулу паралакса истинное расстояние до ригеля можно найти следующим образом:

\(d_{\text{ригель}} = \dfrac{1}{p_{\text{ригель}}}\)

Теперь мы можем найти отношение светимостей между ригелем и солнцем:

\[\dfrac{d_{\text{солнце}}}{d_{\text{ригель}}} = \dfrac{\sqrt{10^{\left(\dfrac{m_{\text{ригель}}}{2.5}\right)}}}{\dfrac{1}{p_{\text{ригель}}}}\]

По условию нам не дано никаких данных о расстоянии до солнца, поэтому эту величину мы не учитываем в решении.

2) По аналогичному принципу, чтобы найти среднюю плотность красного сверхгиганта, мы используем формулу плотности:

\[d = \dfrac{m}{V}\]

где \(d\) - плотность, \(m\) - масса, \(V\) - объем.

Мы знаем, что диаметр красного сверхгиганта в 300 раз больше, чем диаметр солнца, и масса в 30 раз больше массы солнца.

Так как плотность определяется как отношение массы к объему, мы можем записать:

\(d_{\text{сверхгигант}} = \dfrac{m_{\text{сверхгигант}}}{V_{\text{сверхгигант}}}\)

По условию красный сверхгигант имеет диаметр в 300 раз больше диаметра солнца:

\(d_{\text{сверхгигант}} = \dfrac{m_{\text{сверхгигант}}}{V_{\text{сверхгигант}}}\)

\(\Rightarrow d_{\text{сверхгигант}} = \dfrac{m_{\text{сверхгигант}}}{\left(\dfrac{d_{\text{солнце}}}{300}\right)^3}\)

Также по условию масса красного сверхгиганта в 30 раз больше массы солнца:

\(d_{\text{сверхгигант}} = \dfrac{\left(\dfrac{m_{\text{солнце}}}{30}\right)}{\left(\dfrac{d_{\text{солнце}}}{300}\right)^3}\)

Используя данное равенство, мы можем решить уравнение для плотности красного сверхгиганта.

Остается только вычислить это значение, вставив в формулу известные значения: диаметр солнца, массу солнца.

После всех вычислений вы получите итоговые ответы.