1. На скільки разів збільшився об єм куба, якщо ребро куба збільшили у 3 рази? 2. Який об єм кульового сегмента

1. Щоб знайти на скільки разів збільшився об"єм куба, коли його ребро збільшили у 3 рази, треба взяти новий об"єм куба і поділити його на старий об"єм.

Давайте спочатку знайдемо об"єм старого куба. Об"єм куба можна знайти, піднімаючи довжину ребра до куба третьої степені. Отже, об"єм складає \[V_{ст} = a_{ст}^3\]

Тепер ми маємо знайти новий об"єм куба. Він буде таким самим, але з ребром, яке збільшили у 3 рази. Отже, новий об"єм \[V_{нов} = (3a_{ст})^3\]

Тепер, щоб знайти на скільки разів збільшився об"єм куба, треба поділити новий об"єм на старий: \[ \frac{V_{нов}}{V_{ст}} = \frac{(3a_{ст})^3}{a_{ст}^3} = \frac{27a_{ст}^3}{a_{ст}^3} = 27\]

Отже, об"єм куба збільшився на 27 разів.

2. Щоб знайти об"єм кульового сегмента з висотою 3 см і радіусом кулі 5 см, треба використовувати формулу для об"єму кульового сегмента. Формула виглядає так: \[V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r-h)\]

Підставимо дані в формулу: \[V = \frac{1}{3}\pi (3)^2 (3 \cdot 5 - 3) = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 12 = 36\pi\]

Таким чином, об"єм кульового сегмента з висотою 3 см і радіусом 5 см складає \(36\pi\) кубічних сантиметрів.

3. Щоб знайти площу поверхні сфери з радіусом 1.6 см, використаємо формулу для площі поверхні сфери. Формула виглядає так: \[S = 4\pi r^2\]

Підставимо дані в формулу: \[S = 4\pi (1.6)^2 = 4\pi \cdot 2.56 = 10.24\pi\]

Таким чином, площа поверхні сфери з радіусом 1.6 см складає \(10.24\pi\) квадратних сантиметрів.

4. Щоб знайти площу повної поверхні піраміди з апофемою 6 см і стороною основи 4 см, треба використовувати формулу для площі повної поверхні піраміди. Формула виглядає так: \[S = \frac{1}{2}Pl + B\]

В нашому випадку, підставимо довжину апофеми в \(l\) і сторону основи в \(P\): \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 + B\]

Тепер треба знайти площу основи піраміди. Оскільки у нас правильна чотирикутна піраміда, то її основа - квадрат. Тому площа основи буде довжиною сторони, піднесеною до квадрата: \[B = 4^2 = 16\]

Підставимо це в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 + 16 = 2 \cdot 6 + 16 = 12 + 16 = 28\]

Отже, площа повної поверхні піраміди з апофемою 6 см і стороною основи 4 см складає 28 квадратних сантиметрів.

5. Щоб знайти площу бічної поверхні призми з прямокутним трикутником у основі з катетами 6 см і 8 см та висотою 10 см, треба використовувати формулу для площі бічної поверхні призми. Формула виглядає так: \[S = P \cdot h\]

В нашому випадку, підставимо периметр основи в \(P\) і висоту призми в \(h\): \[S = (6 + 8 + 10) \cdot 10\]

Складемо периметр основи: \[P = 6 + 8 + 10 = 24\]

Підставимо це в формулу: \[S = 24 \cdot 10 = 240\]

Таким чином, площа бічної поверхні призми з прямокутним трикутником у основі з катетами 6 см і 8 см та висотою 10 см складає 240 квадратних сантиметрів.

6. Щоб знайти переріз, проведений в кулі з радіусом 20 см на відстані 16 см від центра кулі, можемо використовувати теорему Піфагора. За теоремою Піфагора знаходимо довжину перерізу.

Треба спочатку намалювати відрізок, що з"єднує центр кулі з точкою перерізу, та позначити його довжину \(d\). Маємо прямокутний трикутник з гіпотенузою рівною радіусу кулі \(r\) і катетом рівним відстані від центра кулі \(d\). Знаходимо другий катет, використовуючи теорему Піфагора: \[d^2 = r^2 - k^2\]

Підставляємо відомі значення: \[16^2 = 20^2 - k^2\]

Розв"язуємо рівняння: \[256 = 400 - k^2\]
\[k^2 = 400 - 256\]
\[k^2 = 144\]
\[k = \sqrt{144} = 12\]

Таким чином, переріз, проведений в кулі з радіусом 20 см на відстані 16 см від центра кулі, має довжину 12 см.