1. На прямой, перпендикулярной плоскости треугольника pqr и проходящей через вершину p, выбрана точка a. На отрезке

Для начала разберемся с данными условиями задачи. У нас есть треугольник $pqr$ и прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника. На этой прямой выбрана точка $a$. Мы также имеем прямую $qr$ и точку $t$, которая находится на отрезке, соединяющем середину стороны $qr$ с точкой $a$. Известно, что отношение $at$ к $t{p}_1$ равно 2 к 1. Мы должны найти значение угла между прямыми $gt$ и $qr$, учитывая, что $g$ является центром тяжести треугольника $pqr$.

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами центра тяжести треугольника и построим необходимые отношения и отрезки.

1. Центр тяжести $g$ треугольника $pqr$ находится на отрезке, соединяющем вершину $p$ и середину $mn$ стороны $qr$. Пусть точка пересечения $mn$ и $pg$ обозначается как $b$.

$$m{p}_1=\frac{1}{2}qr$$
$$pb=\frac{2}{3}m{p}_1=\frac{1}{3}qr$$

2. Точка $t$ находится на отрезке $ab$ таким образом, что отношение $at$ к $tb$ равно 2 к 1. Пусть $tb=x$, тогда $at=2x$.

Так как $pb=\frac{1}{3}qr$, то $m{p}_1=\frac{1}{6}qr$.
По свойству отношения отрезков в прямоугольном треугольнике (медиана прямоугольного треугольника делит гипотенузу на две части пропорционально двум к одной), мы знаем, что

$$\frac{at}{tb}=\frac{m{p}_1}{pb}=\frac{\frac{1}{6}qr}{\frac{1}{3}qr}=\frac{1}{2}$$

Таким образом, $\frac{2x}{x}=\frac{1}{2}$, и решая это уравнение, мы найдем, что $x=\frac{2}{3}pb=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}qr=\frac{2}{9}qr$.

3. Теперь мы можем рассмотреть треугольники $atb$ и $gqr$. Угол между прямыми $gt$ и $qr$ равен сумме углов $tbq$ и $tbg$.

Так как $tbq$ и $tbg$ - это углы внутри прямоугольных треугольников $abc$ и $agc$ соответственно, а сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, мы можем найти значения этих углов.

$$tbq=\arctan \left(\frac{qb}{tb}\right)=\arctan \left(\frac{\frac{2}{3}qr}{\frac{2}{9}qr}\right)=\arctan \left(\frac{9}{3}\right)=\arctan (3)$$
$$tbg=\arctan \left(\frac{bg}{tb}\right)=\arctan \left(\frac{\frac{1}{3}qr}{\frac{2}{9}qr}\right)=\arctan \left(\frac{9}{6}\right)=\arctan \left(\frac{3}{2}\right)$$

4. Так как мы знаем углы $tbq$ и $tbg$, мы можем найти общий угол между прямыми $gt$ и $qr$, просто сложив значения этих углов.

Угол между прямыми $gt$ и $qr$ равен $tbq+tbg$.

Угол между прямыми $gt$ и $qr$ равен $\arctan (3)+\arctan \left(\frac{3}{2}\right)$.

Итак, ответ: Значение угла между прямыми $gt$ и $qr$ равно $\arctan (3)+\arctan \left(\frac{3}{2}\right)$ градусов.