1. На прямой, перпендикулярной плоскости треугольника pqr и проходящей через вершину p, выбрана точка a. На отрезке

Для начала разберемся с данными условиями задачи. У нас есть треугольник \(pqr\) и прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника. На этой прямой выбрана точка \(a\). Мы также имеем прямую \(qr\) и точку \(t\), которая находится на отрезке, соединяющем середину стороны \(qr\) с точкой \(a\). Известно, что отношение \(at\) к \(tp_1\) равно 2 к 1. Мы должны найти значение угла между прямыми \(gt\) и \(qr\), учитывая, что \(g\) является центром тяжести треугольника \(pqr\).

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами центра тяжести треугольника и построим необходимые отношения и отрезки.

1. Центр тяжести \(g\) треугольника \(pqr\) находится на отрезке, соединяющем вершину \(p\) и середину \(mn\) стороны \(qr\). Пусть точка пересечения \(mn\) и \(pg\) обозначается как \(b\).

\[mp_1 = \frac{1}{2}qr\]
\[pb = \frac{2}{3}mp_1 = \frac{1}{3}qr\]

2. Точка \(t\) находится на отрезке \(ab\) таким образом, что отношение \(at\) к \(tb\) равно 2 к 1. Пусть \(tb = x\), тогда \(at = 2x\).

Так как \(pb = \frac{1}{3}qr\), то \(mp_1 = \frac{1}{6}qr\).
По свойству отношения отрезков в прямоугольном треугольнике (медиана прямоугольного треугольника делит гипотенузу на две части пропорционально двум к одной), мы знаем, что

\[\frac{at}{tb} = \frac{mp_1}{pb} = \frac{\frac{1}{6}qr}{\frac{1}{3}qr} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, \(\frac{2x}{x} = \frac{1}{2}\), и решая это уравнение, мы найдем, что \(x = \frac{2}{3}pb = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}qr = \frac{2}{9}qr\).

3. Теперь мы можем рассмотреть треугольники \(atb\) и \(gqr\). Угол между прямыми \(gt\) и \(qr\) равен сумме углов \(tbq\) и \(tbg\).

Так как \(tbq\) и \(tbg\) - это углы внутри прямоугольных треугольников \(abc\) и \(agc\) соответственно, а сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, мы можем найти значения этих углов.

\[tbq = \arctan\left(\frac{qb}{tb}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{2}{3}qr}{\frac{2}{9}qr}\right) = \arctan\left(\frac{9}{3}\right) = \arctan(3)\]
\[tbg = \arctan\left(\frac{bg}{tb}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{1}{3}qr}{\frac{2}{9}qr}\right) = \arctan\left(\frac{9}{6}\right) = \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\]

4. Так как мы знаем углы \(tbq\) и \(tbg\), мы можем найти общий угол между прямыми \(gt\) и \(qr\), просто сложив значения этих углов.

Угол между прямыми \(gt\) и \(qr\) равен \(tbq + tbg\).

Угол между прямыми \(gt\) и \(qr\) равен \(\arctan(3) + \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\).

Итак, ответ: Значение угла между прямыми \(gt\) и \(qr\) равно \(\arctan(3) + \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\) градусов.