1) Какой угол образуют касательные о1а и о2а, если они касаются окружностей с радиусами 5 и 2, и проходят через точку

Конечно, давайте решим эти задачи по очереди и подробно обоснуем ответы.

1) Для начала, обратимся к геометрическим свойствам касательных, пересекающихся на окружности.
Поскольку о1а является касательной к окружности с радиусом 5 и проходит через точку а, то она перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания о1.
Аналогично, о2а является касательной к окружности с радиусом 2 и также перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания о2.

Поскольку о1а и о2а перпендикулярны радиусам окружностей, они также образуют прямые углы с радиусами окружностей. Вспомним, что угол, образуемый касательной и радиусом, равен 90 градусов.
Таким образом, угол между касательными о1а и о2а равен 90 градусов.

Чтобы найти угол между о1о2, воспользуемся тем, что о1о2 является дугой окружности, образованной углом вцентральной точке, сведенной коглавной с углом о1ао2.
Поскольку о1а и о2а являются касательными к окружностям, угол о1ао2 является разностью углов, образованных радиусами окружностей на точку касания о1 и о2.
Радиусы окружностей равны 5 и 2, соответственно. Таким образом, угол о1ао2 равен |5 - 2| = 3 градусам.

Таким образом, угол между касательными о1а и о2а равен 90 градусов, а угол между о1о2 равен 3 градусам.

2) Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательного отношения в окружности.
Касательное отношение (oh) из центра окружности (о) до хорды ab является проекцией (oh) на хорду ab, разделенную на половину длины хорды ab.

Рассмотрим, как изменение (oh) влияет на длину хорды ab.
Поскольку расстояние (oh) увеличилось с 6 до 9, это означает, что проекция (oh) на хорду ab стала больше. Мы можем представить себе, что (oh) увеличивается на 3 единицы.

Чтобы найти, на сколько уменьшилась длина хорды, воспользуемся теоремой Пифагора.
Длина хорды ab соответствует двум равносторонним треугольникам с (oh) в качестве основания и радиусом окружности r в качестве боковых сторон.

Используя теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, мы можем найти длину хорды до и после изменения (oh).

До изменения (oh), используя теорему Пифагора:

\[ab^2 = r^2 - (oh)^2\]
\[ab^2 = 10^2 - 6^2\]
\[ab^2 = 100 - 36\]
\[ab^2 = 64\]
\[ab = \sqrt{64}\]
\[ab = 8\]

После изменения (oh), используя ту же формулу:

\[ab"^2 = r^2 - (oh")^2\]
\[ab"^2 = 10^2 - 9^2\]
\[ab"^2 = 100 - 81\]
\[ab"^2 = 19\]
\[ab" = \sqrt{19}\]

Таким образом, длина хорды уменьшилась с \(ab - ab" = 8 - \sqrt{19}\).

В итоге, если \(r = 10\), и расстояние (oh) увеличилось с 6 до 9, то длина хорды уменьшилась на \(8 - \sqrt{19}\).