1/ На прямоугольнике ABCD диагональ AC имеет конечную точку A. Проведена прямая, перпендикулярная диагонали AC, которая пересекает прямые CB и CD в точках M и N соответственно. Какова длина отрезка MN?
2/ В прямоугольном треугольнике с катетами длиной 5 единиц измерения вписан квадрат, который образует с треугольником общий прямой угол. Каков периметр квадрата в единицах измерения?
3/ Из вершины прямоугольника проведен перпендикуляр к его диагонали, который делит прямой угол в соотношении 7:3. Какова мера острого угла между диагоналями прямоугольника?
2/ В прямоугольном треугольнике с катетами длиной 5 единиц измерения вписан квадрат, который образует с треугольником общий прямой угол. Каков периметр квадрата в единицах измерения?
3/ Из вершины прямоугольника проведен перпендикуляр к его диагонали, который делит прямой угол в соотношении 7:3. Какова мера острого угла между диагоналями прямоугольника?

Утконос
Конечная точка диагонали находится на противоположной стороне прямоугольника от точки , поэтому для решения первой задачи нам нужно найти одинаковые отношения между отрезками, созданными перпендикулярной прямой.
Пусть и . Поскольку отрезок перпендикулярен , он будет образовывать прямой угол с . То же самое касается отрезка и прямой .
Так как и образуют прямой угол с и , соответственно, мы можем записать следующие отношения:
и
Решим первое уравнение относительно :
Подставим это значение во второе уравнение:
Упростим:
Теперь заменим каждое отношение соответствующими величинами:
Используя пропорцию, найдем значениe :
Так как - это диагональ прямоугольника, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного из катетов и , мы можем применить теорему Пифагора:
Теперь мы можем выразить только через и :
Итак, длина отрезка равна .
Перейдем ко второй задаче.
В нашем прямоугольном треугольнике катеты имеют длину 5 единиц измерения. Для решения этой задачи мы должны найти длину стороны квадрата, который вписан в треугольник.
Пусть - это длина стороны квадрата. Так как квадрат вписан в треугольник, каждая вершина квадрата будет касаться стороны треугольника.
Теперь мы можем составить уравнение, используя геометрические свойства кругов:
Слева от знака равенства у нас , потому что квадрат касается каждого катета дважды, и еще одно касание возникает на гипотенузе (5 единиц измерения). Справа у нас - это сумма всех сторон треугольника.
Упростим уравнение:
Вычитаем 5 с обеих сторон:
Разделим на 2:
Таким образом, длина стороны квадрата равна 5 единицам измерения.
Теперь рассмотрим третью задачу.
Из условия мы знаем, что перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника, делит прямой угол в соотношении 7:3.
Пусть мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна градусам. Тогда мера этого угла делится перпендикуляром на два отрезка в соотношении 7:3.
Запишем это в виде пропорции:
Умножим обе части на 90:
Упростим:
Разделим обе части на 3:
Таким образом, мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна 210 градусам.
Пусть
Так как
Решим первое уравнение относительно
Подставим это значение
Упростим:
Теперь заменим каждое отношение соответствующими величинами:
Используя пропорцию, найдем значениe
Так как
Теперь мы можем выразить
Итак, длина отрезка
Перейдем ко второй задаче.
В нашем прямоугольном треугольнике катеты имеют длину 5 единиц измерения. Для решения этой задачи мы должны найти длину стороны квадрата, который вписан в треугольник.
Пусть
Теперь мы можем составить уравнение, используя геометрические свойства кругов:
Слева от знака равенства у нас
Упростим уравнение:
Вычитаем 5 с обеих сторон:
Разделим на 2:
Таким образом, длина стороны квадрата равна 5 единицам измерения.
Теперь рассмотрим третью задачу.
Из условия мы знаем, что перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника, делит прямой угол в соотношении 7:3.
Пусть мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна
Запишем это в виде пропорции:
Умножим обе части на 90:
Упростим:
Разделим обе части на 3:
Таким образом, мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна 210 градусам.
Знаешь ответ?