1/ На прямоугольнике ABCD диагональ AC имеет конечную точку A. Проведена прямая, перпендикулярная диагонали AC, которая

Конечная точка диагонали $AC$ находится на противоположной стороне прямоугольника от точки $A$, поэтому для решения первой задачи нам нужно найти одинаковые отношения между отрезками, созданными перпендикулярной прямой.

Пусть $AM=x$ и $AN=y$. Поскольку отрезок $AM$ перпендикулярен $CB$, он будет образовывать прямой угол с $CB$. То же самое касается отрезка $AN$ и прямой $CD$.

Так как $AM$ и $AN$ образуют прямой угол с $CB$ и $CD$, соответственно, мы можем записать следующие отношения:

$\frac{AM}{CB}=\frac{AN}{CD}$ и $\frac{AM}{CB}=\frac{MN}{BD}$

Решим первое уравнение относительно $AM$:

$\frac{AM}{CB}=\frac{AN}{CD}\Rightarrow AM=\frac{AN\cdot CB}{CD}$

Подставим это значение $AM$ во второе уравнение:

$\frac{AM}{CB}=\frac{MN}{BD}\Rightarrow \frac{\frac{AN\cdot CB}{CD}}{CB}=\frac{MN}{BD}$

Упростим:

$\frac{AN}{CD}=\frac{MN}{BD}$

Теперь заменим каждое отношение соответствующими величинами:

$\frac{7}{3}=\frac{MN}{BD}$

Используя пропорцию, найдем значениe $MN$:

$\frac{7}{3}=\frac{MN}{BD}$

$\frac{7}{3}\cdot BD=MN$

Так как $BD$ - это диагональ прямоугольника, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного из катетов $CB$ и $CD$, мы можем применить теорему Пифагора:

$BD=\sqrt{C{B}^2+C{D}^2}$

Теперь мы можем выразить $MN$ только через $CB$ и $CD$:

$MN=\frac{7}{3}\cdot \sqrt{C{B}^2+C{D}^2}$

Итак, длина отрезка $MN$ равна $\frac{7}{3}\cdot \sqrt{C{B}^2+C{D}^2}$.

Перейдем ко второй задаче.

В нашем прямоугольном треугольнике катеты имеют длину 5 единиц измерения. Для решения этой задачи мы должны найти длину стороны квадрата, который вписан в треугольник.

Пусть $x$ - это длина стороны квадрата. Так как квадрат вписан в треугольник, каждая вершина квадрата будет касаться стороны треугольника.

Теперь мы можем составить уравнение, используя геометрические свойства кругов:

$2x+5=5+5+5$

Слева от знака равенства у нас $2x$, потому что квадрат касается каждого катета дважды, и еще одно касание возникает на гипотенузе (5 единиц измерения). Справа у нас $5+5+5$ - это сумма всех сторон треугольника.

Упростим уравнение:

$2x+5=15$

Вычитаем 5 с обеих сторон:

$2x=10$

Разделим на 2:

$x=5$

Таким образом, длина стороны квадрата равна 5 единицам измерения.

Теперь рассмотрим третью задачу.

Из условия мы знаем, что перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника, делит прямой угол в соотношении 7:3.

Пусть мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна $x$ градусам. Тогда мера этого угла делится перпендикуляром на два отрезка в соотношении 7:3.

Запишем это в виде пропорции:

$\frac{7}{3}=\frac{x}{90}$

Умножим обе части на 90:

$7\cdot 90=3x$

Упростим:

$630=3x$

Разделим обе части на 3:

$x=\frac{630}{3}=210$

Таким образом, мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна 210 градусам.