1/ На прямоугольнике ABCD диагональ AC имеет конечную точку A. Проведена прямая, перпендикулярная диагонали AC, которая

Конечная точка диагонали \( AC \) находится на противоположной стороне прямоугольника от точки \( A \), поэтому для решения первой задачи нам нужно найти одинаковые отношения между отрезками, созданными перпендикулярной прямой.

Пусть \( AM = x \) и \( AN = y \). Поскольку отрезок \( AM \) перпендикулярен \( CB \), он будет образовывать прямой угол с \( CB \). То же самое касается отрезка \( AN \) и прямой \( CD \).

Так как \( AM \) и \( AN \) образуют прямой угол с \( CB \) и \( CD \), соответственно, мы можем записать следующие отношения:

\(\frac{AM}{CB} = \frac{AN}{CD}\) и \(\frac{AM}{CB} = \frac{MN}{BD}\)

Решим первое уравнение относительно \( AM \):

\(\frac{AM}{CB} = \frac{AN}{CD} \Rightarrow AM = \frac{AN \cdot CB}{CD}\)

Подставим это значение \( AM \) во второе уравнение:

\(\frac{AM}{CB} = \frac{MN}{BD} \Rightarrow \frac{\frac{AN \cdot CB}{CD}}{CB} = \frac{MN}{BD}\)

Упростим:

\(\frac{AN}{CD} = \frac{MN}{BD}\)

Теперь заменим каждое отношение соответствующими величинами:

\(\frac{7}{3} = \frac{MN}{BD}\)

Используя пропорцию, найдем значениe \( MN \):

\(\frac{7}{3} = \frac{MN}{BD}\)

\(\frac{7}{3} \cdot BD = MN\)

Так как \( BD \) - это диагональ прямоугольника, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного из катетов \( CB \) и \( CD \), мы можем применить теорему Пифагора:

\(BD = \sqrt{CB^2 + CD^2}\)

Теперь мы можем выразить \( MN \) только через \( CB \) и \( CD \):

\(MN = \frac{7}{3} \cdot \sqrt{CB^2 + CD^2}\)

Итак, длина отрезка \( MN \) равна \(\frac{7}{3} \cdot \sqrt{CB^2 + CD^2}\).

Перейдем ко второй задаче.

В нашем прямоугольном треугольнике катеты имеют длину 5 единиц измерения. Для решения этой задачи мы должны найти длину стороны квадрата, который вписан в треугольник.

Пусть \( x \) - это длина стороны квадрата. Так как квадрат вписан в треугольник, каждая вершина квадрата будет касаться стороны треугольника.

Теперь мы можем составить уравнение, используя геометрические свойства кругов:

\(2x + 5 = 5 + 5 + 5\)

Слева от знака равенства у нас \( 2x \), потому что квадрат касается каждого катета дважды, и еще одно касание возникает на гипотенузе (5 единиц измерения). Справа у нас \( 5 + 5 + 5 \) - это сумма всех сторон треугольника.

Упростим уравнение:

\(2x + 5 = 15\)

Вычитаем 5 с обеих сторон:

\(2x = 10\)

Разделим на 2:

\(x = 5\)

Таким образом, длина стороны квадрата равна 5 единицам измерения.

Теперь рассмотрим третью задачу.

Из условия мы знаем, что перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника, делит прямой угол в соотношении 7:3.

Пусть мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна \( x \) градусам. Тогда мера этого угла делится перпендикуляром на два отрезка в соотношении 7:3.

Запишем это в виде пропорции:

\(\frac{7}{3} = \frac{x}{90}\)

Умножим обе части на 90:

\(7 \cdot 90 = 3x\)

Упростим:

\(630 = 3x\)

Разделим обе части на 3:

\(x = \frac{630}{3} = 210\)

Таким образом, мера острого угла между диагоналями прямоугольника равна 210 градусам.