1. На поверхности сферы имеются три точки. Прямолинейные расстояния между ними составляют 6, 8 и 10. Радиус сферы равен

1. Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Пусть \(r\) - расстояние от центра сферы до плоскости, проходящей через эти три точки. Тогда применим теорему косинусов для треугольника с сторонами 6, 8 и 10:
\[10^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(\theta)\]
Где \(\theta\) - угол между сторонами длинами 6 и 8. Решим это уравнение относительно \(\cos(\theta)\):
\[\cos(\theta) = \frac{6^2 + 8^2 - 10^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{1}{2}\]
Таким образом, \(\theta = 60^\circ\). Теперь, применим синус этого угла, чтобы найти высоту треугольника:
\[\sin(\theta) = \frac{r}{13} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{13}\]
\[r = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6.5\sqrt{3}\]
Так как нас интересует расстояние от центра сферы до плоскости, то ответом будет \(2 \cdot r = 2 \cdot 6.5\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \approx 12\) (округлим до ближайшего целого числа).

2. Чтобы найти объем сферы, необходимо знать радиус сферы. Мы можем найти его, используя информацию о сечении. Площадь сечения равна \(\frac{1}{6}\) от площади поверхности сферы. Зная, что площадь поверхности сферы равна \(4 \pi \cdot r^2\) и площадь сечения равна \(16 \pi\), мы можем записать уравнение:
\[\frac{16 \pi}{4 \pi \cdot r^2} = \frac{1}{6}\]
Упрощая это уравнение, получаем:
\[\frac{4}{r^2} = \frac{1}{6} \Rightarrow r^2 = 24\]
Далее найдем радиус сферы:
\[r = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\]
Теперь можем найти объем сферы, используя формулу объема:
\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (2\sqrt{6})^3 = \frac{2048 \pi}{3}\]

3. Для нахождения объема материала, из которого сделана сфера, нужно вычесть объем полости сферы из объема полной сферы. Радиус внешней сферы равен 9 (половина внешнего диаметра), а радиус внутренней сферы равен 6 (половина внутреннего диаметра). Тогда объем материала можно найти следующим образом:
\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot (9^3 - 6^3) = \frac{4}{3} \pi \cdot (729 - 216) = \frac{4}{3} \pi \cdot 513 = 684 \pi\]

4. Для нахождения стороны квадрата, касающегося сферы, используем свойство касательных, которые проведены к окружности. Так как сторона квадрата является диаметром окружности, а диаметр равен 50, то сторона квадрата равна 50.