1) На какую высоту будет подниматься камень, если его привязанная к верёвке длиной 40 см, вертикально вращается

1) Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые физические законы и формулы. Дано, что камень делает 7 оборотов за 2 секунды и веревка, к которой он привязан, имеет длину 40 см. Мы должны найти высоту, на которую поднимается камень до того, как веревка оборвется, когда его скорость направлена вертикально вверх.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Сумма потенциальной энергии и кинетической энергии камня должна быть постоянной на протяжении всего движения. Запишем это в уравнении:

\[ mgh + \frac{1}{2} mv^2 = \text{const} \]

где \( m \) - масса камня, \( g \) - ускорение свободного падения (примем его равным 9,8 м/с\(^2\)), \( h \) - высота, \( v \) - скорость камня.

Так как камень вращается по окружности, его скорость можно найти, зная длину окружности и время на обороты. Длина окружности равна периметру круга и вычисляется по формуле \( C = 2\pi r \), где \( r \) - радиус окружности. В данном случае радиус не указан, но мы знаем, что длина веревки равна 40 см, то есть это радиус окружности. Таким образом, длина окружности равна \( C = 2\pi \cdot 0,4 \) м.

Теперь можем найти скорость камня:

\[ v = \frac{C}{t} \]

где \( t \) - время на обороты. В данной задаче \( t = \frac{2}{7} \) сек.

Выражение для скорости: \( v = \frac{2\pi \cdot 0,4}{\frac{2}{7}} \) м/с

Вычислив скорость, мы можем рассчитать массу камня. Для этого нам понадобится масса веревки. Пусть масса веревки составляет \( m_1 \), а масса камня \( m_2 \). Тогда суммарная масса будет равна \( m = m_1 + m_2 \).

Теперь мы можем записать выражение для массы камня: \( m_2 = m - m_1 \)

Используем второй закон Ньютона: \( F = m \cdot a \), где \( F \) - сила, \( m \) - масса, \( a \) - ускорение. Здесь \( F = mg \) (вес камня).

Таким образом, ускорение нас интересует, а массу мы знаем (\( m = m_2 \)), равную разности масс камня и веревки.

Подставим все известные значения в уравнение:

\[ mgh + \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi \cdot 0,4}{\frac{2}{7}}\right)^2 = \text{const} \]

\[ (m - m_1)gh + \frac{1}{2} (m - m_1) \left(\frac{2\pi \cdot 0,4}{\frac{2}{7}}\right)^2 = \text{const} \]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно высоты \( h \).

2) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для центростремительного ускорения:

\[ a = \frac{v^2}{r} \]

где \( a \) - центростремительное ускорение, \( v \) - скорость автомобиля, \( r \) - радиус закругления дороги.

В данной задаче радиус закругления указан равным 500 м, а скорость автомобиля равна 90 км/ч. Чтобы привести скорость км/ч к м/с, нужно разделить ее на 3,6:

\[ v = \frac{90 \, \text{км/ч}}{3,6} \, \text{м/с} \]

Остается только подставить известные значения в формулу и вычислить центростремительное ускорение \( a \). Не забудьте также указать единицы измерения в ответе.