Яким є діаметр великого поршня гідравлічної машини, якщо малому поршню має діаметр 4 см, а вантаж на ньому має масу 10 кг, а великому поршню на ньому має масу 160 кг, і поршні перебувають у рівновазі, при цьому їхні маси можна ігнорувати?
Yakobin
Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться принципом Паскаля, который гласит, что давление, создаваемое на жидкость в закрытой сосуде, передаётся равномерно во всех направлениях.
При условии, что поршни находятся в равновесии, то давление, создаваемое малым поршнем, также будет равно давлению, создаваемому большим поршнем. Выразим данное равенство через формулу давления:
\[P_{1} = P_{2}\]
Где \(P_{1}\) - давление, создаваемое малым поршнем и \(P_{2}\) - давление, создаваемое большим поршнем.
Давление определяется по формуле:
\[P = \frac{F}{S}\]
Где \(P\) - давление, \(F\) - сила и \(S\) - площадь. Найдём силы, создаваемые каждым поршнем.
Сила определяется по формуле:
\[F = mg\]
Где \(F\) - сила, \(m\) - масса и \(g\) - ускорение свободного падения (принимается равным 9,8 м/с\(^2\)).
Таким образом, сила, создаваемая малым поршнем, будет равна:
\[F_{1} = m_{1} \cdot g\]
А сила, создаваемая большим поршнем, будет равна:
\[F_{2} = m_{2} \cdot g\]
Поскольку их массы заданы, можем подставить значения:
\[F_{1} = 10 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
\[F_{2} = 160 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
Теперь нам нужно выразить площади поршней через их диаметры. Площадь поршня можно найти по формуле:
\[S = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\]
Где \(S\) - площадь поршня, \(d\) - диаметр поршня.
Итак, площадь, создаваемая малым поршнем, будет равна:
\[S_{1} = \frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}\]
А площадь, создаваемая большим поршнем, будет равна:
\[S_{2} = \frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}\]
Мы знаем, что давление равно силе, разделенной на площадь. Теперь мы можем записать уравнение, используя известные значения:
\[\frac{F_{1}}{S_{1}} = \frac{F_{2}}{S_{2}}\]
Для решения этого уравнения, мы можем подставить значения сил и площадей:
\[\frac{m_{1} \cdot g}{S_{1}} = \frac{m_{2} \cdot g}{S_{2}}\]
А сейчас найдем значения площадей:
\[\frac{10 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{\frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}} = \frac{160 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{\frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}}\]
Сократим значения ускорения свободного падения и переставим дроби:
\[\frac{10 \, \text{кг}}{\frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}} = \frac{160 \, \text{кг}}{\frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
Упростим числовые значения и сократим дроби:
\[\frac{40}{\pi} = \frac{784 \cdot 9,8}{\pi \cdot d_{2}^2}\]
Переставим переменные и решим уравнение относительно \(d_{2}^2\):
\[d_{2}^2 = \frac{784 \cdot 9,8}{40}\]
Выполним расчет:
\[d_{2}^2 = 192,08\]
Теперь найдём значение диаметра большого поршня, извлекая квадратный корень:
\[d_{2} = \sqrt{192,08} \approx 13,86 \, \text{см}\]
Таким образом, диаметр большого поршня гидравлической машины составляет примерно 13,86 см.
При условии, что поршни находятся в равновесии, то давление, создаваемое малым поршнем, также будет равно давлению, создаваемому большим поршнем. Выразим данное равенство через формулу давления:
\[P_{1} = P_{2}\]
Где \(P_{1}\) - давление, создаваемое малым поршнем и \(P_{2}\) - давление, создаваемое большим поршнем.
Давление определяется по формуле:
\[P = \frac{F}{S}\]
Где \(P\) - давление, \(F\) - сила и \(S\) - площадь. Найдём силы, создаваемые каждым поршнем.
Сила определяется по формуле:
\[F = mg\]
Где \(F\) - сила, \(m\) - масса и \(g\) - ускорение свободного падения (принимается равным 9,8 м/с\(^2\)).
Таким образом, сила, создаваемая малым поршнем, будет равна:
\[F_{1} = m_{1} \cdot g\]
А сила, создаваемая большим поршнем, будет равна:
\[F_{2} = m_{2} \cdot g\]
Поскольку их массы заданы, можем подставить значения:
\[F_{1} = 10 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
\[F_{2} = 160 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
Теперь нам нужно выразить площади поршней через их диаметры. Площадь поршня можно найти по формуле:
\[S = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\]
Где \(S\) - площадь поршня, \(d\) - диаметр поршня.
Итак, площадь, создаваемая малым поршнем, будет равна:
\[S_{1} = \frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}\]
А площадь, создаваемая большим поршнем, будет равна:
\[S_{2} = \frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}\]
Мы знаем, что давление равно силе, разделенной на площадь. Теперь мы можем записать уравнение, используя известные значения:
\[\frac{F_{1}}{S_{1}} = \frac{F_{2}}{S_{2}}\]
Для решения этого уравнения, мы можем подставить значения сил и площадей:
\[\frac{m_{1} \cdot g}{S_{1}} = \frac{m_{2} \cdot g}{S_{2}}\]
А сейчас найдем значения площадей:
\[\frac{10 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{\frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}} = \frac{160 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{\frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}}\]
Сократим значения ускорения свободного падения и переставим дроби:
\[\frac{10 \, \text{кг}}{\frac{\pi \cdot (4 \, \text{см})^2}{4}} = \frac{160 \, \text{кг}}{\frac{\pi \cdot d_{2}^2}{4}} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2\]
Упростим числовые значения и сократим дроби:
\[\frac{40}{\pi} = \frac{784 \cdot 9,8}{\pi \cdot d_{2}^2}\]
Переставим переменные и решим уравнение относительно \(d_{2}^2\):
\[d_{2}^2 = \frac{784 \cdot 9,8}{40}\]
Выполним расчет:
\[d_{2}^2 = 192,08\]
Теперь найдём значение диаметра большого поршня, извлекая квадратный корень:
\[d_{2} = \sqrt{192,08} \approx 13,86 \, \text{см}\]
Таким образом, диаметр большого поршня гидравлической машины составляет примерно 13,86 см.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
