1) На каком расстоянии от правого края должна сесть Аня, чтобы достичь равновесия качелей? 2) С какой стороны Соня

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Чтобы качели находились в равновесии, необходимо, чтобы моменты сил, действующих на них, полностью компенсировали друг друга. В данном случае, мы имеем силу гравитации, действующую на каждую качелю, и силу реакции опоры, действующую в точке опоры. Эти силы создают моменты, пытающиеся повернуть качели вокруг точки опоры.

Пусть длина каждой качели равна \(L\), и масса Тани равна \(m_T\), а масса Ани равна \(m_A\). Пусть Аня сядет на расстоянии \(x\) от правого края качелей.

Момент силы гравитации, действующей на Таню, равен \(m_T \cdot g \cdot L/2\), где \(g\) - ускорение свободного падения. Момент силы гравитации, действующей на Аню, равен \(m_A \cdot g \cdot (L/2 - x)\). Сумма этих моментов должна быть равна нулю для достижения равновесия.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[m_T \cdot g \cdot L/2 = m_A \cdot g \cdot (L/2 - x)\]

Чтобы найти значение \(x\), нужно разрешить это уравнение относительно \(x\):
\[m_T \cdot g \cdot L/2 = m_A \cdot g \cdot (L/2 - x)\]
\[m_T \cdot g \cdot L/2 = m_A \cdot g \cdot L/2 - m_A \cdot g \cdot x\]

Теперь выразим \(x\):
\[x = \frac{m_T \cdot g \cdot L/2}{m_A \cdot g}\]
\[x = \frac{m_T \cdot L}{2 \cdot m_A}\]

Таким образом, Ане следует сесть на расстоянии \(\frac{m_T \cdot L}{2 \cdot m_A}\) от правого края, чтобы достичь равновесия качелей.

2) Когда Таня находится на правом краю качелей, момент силы реакции опоры действует в точке опоры, создавая момент, стремящийся повернуть систему вокруг точки опоры. Чтобы достичь равновесия, необходимо, чтобы момент силы гравитации, действующей на Соню, полностью компенсировал этот момент.

Пусть \(x\) - расстояние от точки опоры до Сони, и \(m_S\) - масса Сони.

Момент силы гравитации, действующей на Соню, равен \(m_S \cdot g \cdot x\). Момент силы реакции опоры равен \(m_A \cdot g \cdot L/2\). Сумма этих моментов должна быть равна нулю для достижения равновесия.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[m_S \cdot g \cdot x = m_A \cdot g \cdot L/2\]

Чтобы найти значение \(x\), нужно разрешить это уравнение относительно \(x\):
\[m_S \cdot g \cdot x = m_A \cdot g \cdot L/2\]
\[x = \frac{m_A \cdot L}{2 \cdot m_S}\]

Соне следует сесть на расстоянии \(\frac{m_A \cdot L}{2 \cdot m_S}\) от точки опоры, чтобы достичь равновесия качелей.

3) Если Таня и Аня сидят на противоположных краях качелей, система будет находиться в равновесии, если моменты сил, действующих на каждую сторону, полностью компенсируют друг друга.

В этом случае, сумма моментов сил гравитации, действующих на Таню и Аню, должна быть равна нулю. Пусть \(x\) - расстояние от середины качелей до Сони.

Момент силы гравитации, действующей на Таню, равен \(m_T \cdot g \cdot (L/2 - x)\). Момент силы гравитации, действующей на Аню, равен \(m_A \cdot g \cdot (L/2 + x)\). Сумма этих моментов должна быть равна нулю.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[m_T \cdot g \cdot (L/2 - x) = m_A \cdot g \cdot (L/2 + x)\]

Чтобы найти значение \(x\), нужно разрешить это уравнение относительно \(x\):
\[m_T \cdot g \cdot (L/2 - x) = m_A \cdot g \cdot (L/2 + x)\]
\[m_T \cdot g \cdot (L/2 - x) - m_A \cdot g \cdot (L/2 + x) = 0\]

Теперь выразим \(x\):
\[x = \frac{m_T \cdot g \cdot (L/2)}{m_A \cdot g}\]
\[x = \frac{m_T \cdot L}{2 \cdot m_A}\]

Таким образом, Соне следует сесть на расстоянии \(\frac{m_T \cdot L}{2 \cdot m_A}\) от середины качелей, чтобы система была в равновесии.